如果 \( a \cos \theta+b \sin \theta=m \) 且 \( a \sin \theta-b \cos \theta=n \)，证明 \( a^{2}+b^{2}=m^{2}+n^{2} \)

已知

\( a \cos \theta+b \sin \theta=m \) 且 \( a \sin \theta-b \cos \theta=n \)

要求

我们必须证明 \( a^{2}+b^{2}=m^{2}+n^{2} \).

解答

我们知道：

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$

因此：

$a \cos \theta+b \sin \theta=m$

$a \sin \theta-b \cos \theta=n$
让我们考虑右边：

$m^{2}+n^{2}=(a \cos \theta+b \sin \theta)^{2}+(a \sin \theta-b \cos \theta)^{2}$

$=a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta+2 a b \sin \theta \cos \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta+b^{2} \cos ^{2} \theta-2 a b \sin \theta \cos \theta$

$=a^{2} (\sin ^{2} \theta+ \cos ^{2} \theta)+b^{2} (\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta)$

$=a^{2} (1)+b^{2} (1)$

$=a^{2}+b^{2}$

$=$ 左边

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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