如果a和b是两个奇正整数，且a > b，则证明这两个数$\frac{a\ +\ b}{2}$和$\frac{a\ -\ b}{2}$中，一个为奇数，另一个为偶数。

已知：a 和 b 是两个奇正整数，且 a > b。

要求：证明这两个数$\frac{a\ +\ b}{2}$和$\frac{a\ -\ b}{2}$中，一个为奇数，另一个为偶数。

解答

我们知道：

a 和 b 是两个奇正整数，且 a > b。

此外，

奇数的形式为 2n + 1 和 2n + 3，其中 n 为整数。

因为 a > b，

a = 2n + 3，b = 2n + 1

现在，

计算 ($\frac{a\ +\ b}{2}$) 的值

$\frac{a\ +\ b}{2}\ =\ \frac{2n\ +\ 3\ +\ 2n\ +\ 1}{2}$

$\frac{a\ +\ b}{2}\ =\ \frac{4n\ +\ 4}{2}$

$\frac{a\ +\ b}{2}\ =\ 2n\ +\ 2$

$\frac{a\ +\ b}{2}\ =\ 2(n\ +\ 1)$

任何数乘以 2 都是偶数。所以，$2(n\ +\ 1)$ 是偶数。

因此，

$\mathbf{\frac{a\ +\ b}{2}}$ 是偶数。

计算 ($\frac{a\ -\ b}{2}$) 的值

$\frac{a\ -\ b}{2}\ =\ \frac{2n\ +\ 3\ -\ 2n\ -\ 1}{2}$

$\frac{a\ -\ b}{2}\ =\ \frac{2}{2}$

$\frac{a\ -\ b}{2}\ =\ 1$

这是一个奇数。

因此，

$\mathbf{\frac{a\ -\ b}{2}}$ 是奇数。

因此，我们可以看到一个数是奇数，另一个是偶数。

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更新于：2022年10月10日

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