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法学已知锐角 \( A \) 和 \( B \)，满足 \( \sin (A+2 B)=\frac{\sqrt{3}}{2} \) 且 \( \cos (A+4 B)=0 \)，其中 \(A>B \)。求 \(A\) 和 \(B\).
已知
\( \sin (A+2 B)=\frac{\sqrt{3}}{2} \) 且 \( \cos (A+4 B)=0 \)，其中 \(A>B \).
解题步骤
我们需要求出角度 $A$ 和 $B$。
解：
$\sin (A+2B)=\frac{\sqrt3}{2}$
$\sin (A+2B)=\sin 60^{\circ}$ (因为 $\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}$)
$\Rightarrow A+2B=60^{\circ}$......(i)
$\cos (A+4B)=0$
$\cos (A+4B)=\cos 90^{\circ}$ (因为 $\cos 90^{\circ}=0$)
$\Rightarrow A+4B=90^{\circ}$
$\Rightarrow A=90^{\circ}-4B$........(ii)
将 (ii) 代入 (i)，得到：
$90^{\circ}-4B+2B=60^{\circ}$
$\Rightarrow 2B=30^{\circ}$
$\Rightarrow B=\frac{30^{\circ}}{2}$
$\Rightarrow B=15^{\circ}$
$\Rightarrow A=90^{\circ}-4(15^{\circ})$
$=90^{\circ}-60^{\circ}$
$=30^{\circ}$
因此，$A$ 和 $B$ 的值分别为 $30^{\circ}$ 和 $15^{\circ}$。
更新于：2022年10月10日
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