回答下列问题并说明理由
对于某个大于 1 的奇数 \( k \)，二次多项式 \( x^{2}+k x+k \) 能否具有相等的零点？

已知

二次多项式 \( x^{2}+k x+k \) 且 \( k>1 \)。

要求

我们需要确定对于某个大于 1 的奇数 \( k \)，二次多项式 \( x^{2}+k x+k \) 能否具有相等的零点。

解答

令 $p(x) = x^2 + kx + k$

如果 $p(x)$ 具有相等的零点，则其判别式为零。

$D = b^2 -4ac = 0$                        其中，

$a =1, b = k$ 且 $c = k$

因此，

$(k)^2-4(1)(k) = 0$

$k(k- 4)=0$

$k =0$ 或 $k=4$

这意味着，二次多项式 $p(x)$ 在 $k =0, 4$ 时具有相等的零点。

因此，对于某个大于 1 的奇数 \( k \)，二次多项式 \( x^{2}+k x+k \) 不能具有相等的零点。

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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