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已知：三个人的步长分别为 40 厘米、42 厘米和 45 厘米。求解：我们需要找到每个人至少要走的距离，以便他们都能走整数步数。解法：所需的距离是每人步长的最小公倍数。使用质因数分解法计算 40、42 和 45 的最小公倍数：将这些数写成质因数的乘积：40 的质因数分解：$2\ \times\ 2\ \times\ 2\ \times\ 5 =\ 2^3\ \times\ 5^1$42 的质因数分解：$2\ \times\ 3\ \times 7=\ 2^1\ \times\ 3^1\ \times\ 7^1$45 的质因数分解：$3\ \times\ 3\ \times\ 5=\ 3^2\ \times\ ... 阅读更多
已知：给定的有理数为 $\frac{257}{5000}$。求解：我们将通过将分母写成 $2^m \times 5^n$ 的形式来写出给定有理数的十进制展开式，其中 m 和 n 是非负整数。解法：$\frac{257}{5000}=\frac{257}{5\times1000}=\frac{257}{5\times2^3\times5^3}=\frac{257}{2^3\times5^4}$我们可以看到 $2^3\times5^4$ 是 $2^m \times 5^n$ 的形式，其中 $m =3$ 和 $n = 4$。这意味着，给定的有理数具有有限的十进制展开式。将分子和分母乘以 $2^1$，以便分母成为 $10^r$ 的倍数，其中 r 是任何正整数。因此， $\frac{257}{2^3\times5^4}=\frac{257\times2^1}{2^1\times2^3\times5^4}$$=\frac{257\times2}{(2\times5)^4}$$=\frac{514}{10^4}$$=\frac{514}{10000}$$=0.0514$给定有理数的十进制展开式为 $0.0514$。 阅读更多
已知：$p$ 和 $q$ 是素数。求解：我们要证明 $\sqrt{p}\ +\ \sqrt{q}$ 是无理数。解法：我们假设，与之相反，$\sqrt{p}\ +\ \sqrt{q}$ 是有理数。因此，我们可以找到整数 $a$ 和 $b$（$≠$ 0），使得 $\sqrt{p}\ +\ \sqrt{q}\ =\ \frac{a}{b}$。其中 $a$ 和 $b$ 互质。现在， $\sqrt{p}\ +\ \sqrt{q}\ =\ \frac{a}{b}$$\sqrt{p}\ =\ \frac{a}{b}\ -\ \sqrt{q}$两边平方：$(\sqrt{p})^2\ =\ (\frac{a}{b}\ -\ \sqrt{q})^2$$p\ =\ (\frac{a}{b})^2\ +\ (\sqrt{q})^2\ -\ 2(\frac{a}{b})(\sqrt{q})$$p\ =\ \frac{a^2}{b^2}\ +\ q\ -\ 2(\frac{a}{b})(\sqrt{q})$$2(\frac{a}{b})(\sqrt{q})\ =\ \frac{a^2}{b^2}\ +\ q\ -\ p$$\sqrt{q}\ =\ (\frac{b}{2a})(\frac{a^2}{b^2}\ +\ q\ -\ p)$这里， $(\frac{b}{2a})(\frac{a^2}{b^2}\ +\ q\ -\ p)$ 是一个有理数，但是 $\sqrt{2}$ ... 阅读更多
已知：“正整数的立方具有 $6q\ +\ r$ 的形式，其中 $q$ 是整数，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$，也具有 $6m\ +\ r$ 的形式”。求解：我们要证明这个陈述。解法：根据欧几里德除法引理；如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数；$a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ $
求解：我们要证明在 $n, (n + 2)$ 和 $(n + 4)$ 中，只有一个能被 3 整除，其中 $n$ 是任何正整数。解法：令 $a = n, b = n + 2$ 和 $c =n + 4$有序三元组是 $(a, b, c) = (n, n + 2, n + 4)$....…(i) 其中，$n$ 是任何正整数当 $n = 1$ 时 $(a, b, c) = (1, 1 + 2, 1 + 4)$$= (1, 3, 5)$当 $n = 2$ 时 $(a, b, c) = (2, 2 + 2, 2 + 4)$$= (2, 4, 6)$当 $n = 3$ 时 $(a, b, ... 阅读更多
求解：我们要证明任何三个连续正整数中，至少有一个能被 3 整除。解法：令 $a = n, b = n + 1$ 和 $c =n + 2$有序三元组是 $(a, b, c) = (n, n + 1, n + 2)$其中，$n$ 是任何正整数当 $n = 1$ 时 $(a, b, c) = (1, 1 + 1, 1 + 2)$$= (1, 2, 3)$当 $n = 2$ 时 $(a, b, c) = (2, 2 + 1, 2 + 2)$$= (2, 3, 4)$当 $n = 3$ 时 $(a, b, c) = (3, 3 + 1, 3 + 2)$$= (3, 4, 5)$当 $n =4$ 时 $(a, ... 阅读更多
已知：数字 $n,\ n\ +\ 4,\ n\ +\ 8,\ n\ +\ 12$ 和 $n\ +\ 16$。$n$ 是任何正整数。求解：我们要证明在 $n$，$n+4$，$n+8$，$n+12$ 和 $n+16$ 中，只有一个能被 5 整除。解法：令 $n\ =\ 5q\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ $
已知：二次多项式 $( k-1)x^{2}+kx+1$ 的一个零点是 $-3$求解：我们需要找到 $k$ 的值。解法：二次多项式 $( k-1)x^{2}+kx+1$ 的一个零点是 $-3$将 $x=-3$ 代入给定多项式，它必须满足多项式。$\Rightarrow ( k-1)( -3)^2+k( -3)+1=0$$\Rightarrow ( k-1)9-3k+1=0$$\Rightarrow 9k-9-3k+1=0$$\Rightarrow 6k-8=0$$\Rightarrow 6k=8$$\Rightarrow k=\frac{8}{6}$$\Rightarrow k=\frac{4}{3}$因此，$k$ 的值为 $\frac{4}{3}$。
已知：多项式的零点为 -3 和 4。求解：我们需要找到一个零点为 -3 和 4 的二次多项式。解：已知多项式的零点为 -3 和 4。零点之和 = -3 + 4 = 1零点之积 = -3 × 4 = -12因此，多项式为：p(x) = x² - (零点之和)x + (零点之积)⇒ p(x) = x² - (1)x + (-12)⇒ p(x) = x² - x - 12我们知道，如果我们将任何多项式乘以或除以任何常数，则多项式的零点不会改变。⇒ p(x) = x²/2 - x/2 - 12/2⇒ p(x) = x²/2 - x/2 - 6 阅读更多
已知：二次多项式 x² + (a + 1)x + b 的零点是 2 和 -3。求解：我们需要找到 a 和 b 的值。解：x² + (a + 1)x + b 是二次多项式。2 和 -3 是二次多项式的零点。因此，零点之和 = 2 + (-3) = -(a + 1)/1⇒ -(a + 1)/1 = -1⇒ a + 1 = 1⇒ a = 0同时，零点之积 = 2 × (-3) = b/1⇒ b = -6因此，a = 0，b = -6。