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已知：正整数 $q$。需要做：我们必须证明任何正整数的平方都可以表示为 $4q$ 或 $4q + 1$ 的形式，其中 '$q$' 是某个整数。解答：根据欧几里得除法算法，如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数，则 $a = bm + r$，其中 $0 \underline{< } r < b$。
已知：正整数 $m$。需要做：我们必须证明任何正整数的立方都可以表示为 $4m, 4m + 1$ 或 $4m + 3$ 的形式，其中 $m$ 是某个整数。解答：根据欧几里得除法算法，如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数，则 $a = bq + r$，其中 $0 \underline{< } r < b$。
已知：“任何正整数的平方不可能表示为 $5q + 2$ 或 $5q + 3$ 的形式，其中 $q$ 是某个正整数”。需要做：我们必须证明该陈述。解答：根据欧几里得除法引理；如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数；则 $a = bm + r$，其中 $0 \underline{< } r < b$。
已知：“任何正整数的平方不可能表示为 $6m + 2$ 或 $6m + 5$ 的形式，其中 $m$ 是某个正整数”。需要做：我们必须证明该陈述。解答：根据欧几里得除法引理；如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数；则 $a = bq + r$，其中 $0 \underline{< } r < b$。
已知：“任何奇数的平方都可以表示为 $4m + 1$ 的形式，其中 m 是某个整数”。需要做：我们必须证明该陈述。解答：设 $a$ 为任何正整数。因此，根据欧几里得除法引理：$a = bq + r$，其中 $0 \underline{< } r < b$。
已知：$n$ 是一个奇数。需要做：我们必须证明 $n^2 - 1$ 可以被 $8$ 整除。解答：设 $a = n^2 - 1$，其中 $n$ 可以是偶数或奇数。当 $n$ 是偶数时，$n = 2k$，其中 $k$ 是一个整数。这意味着，$a = (2k)^2 - 1$，$a = 4k^2 - 1$。对于 $k = -1$，$a = 4(-1)^2 - 1$，$= 4 - 1$，$= 3$，不能被 8 整除。对于 $k = 0$，$a = 4(0)^2 - 1$，$= 0 - 1$，$= -1$，不能被 8 整除。当 $n$ 是奇数时，$n = 2k + 1$，其中 $k$ 是一个整数，这意味着… 阅读更多
已知：$x$ 和 $y$ 都是奇数正整数。需要做：我们必须证明 $x^2 + y^2$ 是偶数但不能被 $4$ 整除。解答：设 $x = 2m + 1$ 和 $y = 2m + 3$ 是奇数正整数，对于每个正整数 $m$。这意味着，$x^2 + y^2 = (2m + 1)^2 + (2m + 3)^2$，$= 4m^2 + 1 + 4m + 4m^2 + 12m + 9$ （因为 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$），$= 8m^2 + 16m + 10$，$= 8m^2 + 16m + 8 + 2$，$= 4(2m^2 + 4m + 2) + 2$。因此，$x^2 + y^2$ 对于每个正整数 $m$ 都是偶数，但不能被 4 整除。
已知：441、567 和 693。需要求：这里我们需要求出给定数字的最大公约数。解答：使用欧几里得除法算法求最大公约数：$a = 693$ 和 $b = 567$。使用欧几里得引理得到：$693 = 567 \times 1 + 26$，$567 = 126 \times 4 + 63$，$126 = 63 \times 2 + 0$。最大公约数(693, 567) = 63。现在，$c = 441$ 和 $d = 63$。使用欧几里得引理得到：$441 = 63 \times 7 + 0$。最大公约数(693, 567, 441) = 63。因此，693、567 和 441 的最大公约数是 63。
已知：$\sqrt3 + \sqrt5$。需要做：我们必须证明 $\sqrt3 + \sqrt5$ 是一个无理数。解答：假设，与之相反，$\sqrt3 + \sqrt5$ 是有理数。因此，我们可以找到整数 a 和 b（$≠$ 0），使得 $\sqrt5 + \sqrt3 = \frac{a}{b}$。其中 a 和 b 互质。现在，$\sqrt5 + \sqrt3 = \frac{a}{b}$，$\sqrt3 = \frac{a}{b} - \sqrt5$。两边平方：$(\sqrt{3})^2 = (\frac{a}{b} - \sqrt{5})^2$，$3 = (\frac{a}{b})^2 + 5 - 2\sqrt{5}(\frac{a}{b})$，$3 = \frac{a^2}{b^2} + 5 - 2\sqrt{5}(\frac{a}{b})$，$2\sqrt{5}(\frac{a}{b}) = \frac{a^2}{b^2} + 5 - 3$，$2\sqrt{5}(\frac{a}{b}) = \frac{a^2}{b^2} + 2$，$2\sqrt{5}(\frac{a}{b}) = \frac{a^2 + 2b^2}{b^2}$，$\sqrt{5} = \frac{a^2 ... 阅读更多
需要求：我们必须证明对于任何自然数 $n$，$12^n$ 的末位数字不可能是 0 或 5。解答：我们知道，如果一个数字以 0 或 5 结尾，则它总是可以被 5 整除。这意味着，如果 $12^n$ 以 0 结尾，则它必须可以被 5 整除。这只有在 $12^n$ 的质因数分解中包含质数 5 时才有可能。12 的质因数分解是，$12 = 2 \times 2 \times 3$，$\Rightarrow 12^n = (2 \times 2 \times 3)^n$，$= 2^{2n} \times 3^n$。$12^n$ 的质因数分解不包含质数 5。因此，对于任何自然数 $n$，$12^n$ 的末位数字都不可能是 0 或 5。阅读更多