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法律研究证明任何正整数的立方都可以表示为$4m、4m + 1$或$4m + 3$的形式，其中$m$为某个整数。
已知
正整数 $m$。
要求
我们必须证明任何正整数的立方都可以表示为$4m、4m + 1$或$4m + 3$的形式，其中$m$为某个整数。
解答：
根据欧几里得除法算法，
如果$a$和$b$是两个正整数，
$a\ =\ bq\ +\ r$，其中$0\ \underline{< }\ r\ <\ b$
令$a$为正整数，$b$等于4，
$a\ =\ 4q\ +\ r$，其中$0\ \underline{< }\ r\ <\ 4$，
所以，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$
$a^{3} =(4 q+r)^{3}$
$=64 q^{3}+r^{3}+12 q r^{2}+48 q^{2} r$
$a^{3}=(64 q^{3}+48 q^{2} r+12 q r^{2})+r^{3}$ 其中，$0 \leq r<4$
当 $r=0$ 时，
$a^{3}=64 q^{3}$
$=4(16 q^{3})$
$a^{3}=4 m$ 其中，$m=16 q^{3}$ 为整数。
当 $r=1$ 时，
$a^{3} =64 q^{3}+48 q^{2}+12 q+1$
$=4(16 q^{3}+12 q^{2}+3 q)+1$
$=4 m+1$ 其中，$m=(16 q^{2}+12 q^{2}+3 q)$ 为整数。
当 $r=2$ 时，
$a^{3} =64 q^{3}+144 q^{2}+108 q+27$
$=64 q^{3}+144 q^{2}+108 q+24+3$
$=4(16 q^{3}+36 q^{2}+27 q+6)+3$
$=4 m+3$ 其中，$m=(16 q^{3}+36 q^{2}+27 q+6)$ 为整数。
因此，任何正整数的立方都可以表示为$4m、4m + 1$或$4m + 3$的形式，其中$m$为某个整数。
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