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法律研究利用欧几里得除法引理证明任何正整数的立方都可以表示为9m、9m+1或9m+8的形式。
待办事项
我们必须证明任何正整数的立方都可以表示为9m、9m+1或9m+8的形式。
解答
根据欧几里得除法算法，
a = bq + r，其中0 ≤ r < b。
设a为正整数，b = 3。
那么，a = 3q + r，其中0 ≤ r < 3。
r 的可能值为0、1、2。
当r = 0时，
a = 3q
两边立方，
a³ = (3q)³
a³ = 27q³
a³ = 9(3q³)
a³ = 9m，其中m = 3q³
当r = 1时，
a = 3q + 1
两边立方，
a³ = (3q + 1)³
a³ = (3q)³ + 1³ + 3(3q)(1)(3q + 1)
a³ = 27q³ + 1 + 9q(3q + 1)
a³ = 27q³ + 1 + 27q² + 9q
a³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1
a³ = 9(3q³ + 3q² + q) + 1
a³ = 9m + 1，其中m = (3q³ + 3q² + q)
当r = 2时，
a = 3q + 2
两边立方，
a³ = (3q + 2)³
a³ = (3q)³ + 2³ + 3(3q)(2)(3q + 2)
a³ = 27q³ + 8 + 54q² + 36q
a³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8
a³ = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8
a³ = 9m + 8，其中m = (3q³ + 6q² + 4q)
因此，a 可以是 9m、9m + 1 或 9m + 8 的形式。
更新于：2022年10月10日
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