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法学证明任何正整数的平方都可以表示为 4q 或 4q + 1 的形式，其中 q 为某个整数。
已知
正整数 $q$。
要求
我们必须证明任何正整数的平方都可以表示为 4q 或 4q + 1 的形式，其中 'q' 为某个整数。
解答：
根据欧几里得除法算法：
如果 a 和 b 是两个正整数，
a = bm + r，其中 0 ≤ r < b
令 a 为正整数，b 等于 4，
a = 4m + r，其中 0 ≤ r < 4，
所以，r = 0, 1, 2, 3
现在，
当 r = 0 时，
a = 4m
两边平方，我们得到
a² = (4m)²
a² = 4(4m²)
a² = 4q，其中 q = 4m²
当 r = 1 时，
a = 4m + 1
两边平方，我们得到
a² = (4m + 1)²
a² = 16m² + 1 + 8m
a² = 4(4m² + 2m) + 1
a² = 4q + 1，其中 q = 4m² + 2m
当 r = 2 时，
a = 4m + 2
两边平方，我们得到
a² = (4m + 2)²
a² = 16m² + 4 + 16m
a² = 4(4m² + 4m + 1)
a² = 4q，其中 q = 4m² + 4m + 1
当 r = 3 时，
a = 4m + 3
两边平方，我们得到
a² = (4m + 3)²
a² = 16m² + 9 + 24m
a² = 16m² + 24m + 8 + 1
a² = 4(4m² + 6m + 2) + 1
a² = 4q + 1，其中 q = 4m² + 6m + 2
因此，任何正整数的平方都可以表示为 4q 或 4q + 1 的形式，其中 q 为某个整数。
更新于：2022年10月10日
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