证明奇数的平方可以表示为 $6q+1$ 或 $6q+3$ 的形式，其中 $q$ 为某个整数。

已知： 陈述“奇数的平方可以表示为 $6q+1$ 或 $6q+3$ 的形式，其中 $q$ 为某个整数”。

要求： 这里我们需要证明给定的陈述。

解答

根据欧几里得除法定理，

如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数；

• $a\ =\ bm\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。 

如果 $b\ =\ 6$，则；

• $a\ =\ 6m\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ 6$。
• 但这里我们只需要考虑奇正整数。
• 所以，$r\ =\ 1,\ 3,\ 5$

当，$r\ =\ 1$

$a\ =\ 6m\ +\ 1$

两边平方，得到:

$a^2\ = (6m\ +\ 1)^2$

$a^2\ = 36m^2\ +\ 12m\ + 1$

$a^2\ = 6(6m^2\ +\ 2m)\ +\ 1$

$a^2\ = 6q\ +\ 1$，其中 $q\ =\ 6m^2\ +\ 2m$

当，$r\ =\ 3$

$a\ =\ 6q\ +\ 3$

两边平方，得到:

$a^2\ = (6m\ +\ 3)^2$

$a^2\ = 36m^2\ +\ 36m\ + 9$

$a^2\ = 36m^2\ +\ 36m\ + 6\ +\ 3$

$a^2\ = 6(6m^2\ +\ 6m\ +\ 1)\ +\ 3$

$a^2\ = 6q\ +\ 3$，其中 $q\ =\ 6m^2\ +\ 6m\ +\ 1$

当，$r\ =\ 5$

$a\ =\ 6q\ +\ 5$

两边平方，得到:

$a^2\ = (6m\ +\ 5)^2$

$a^2\ = 36m^2\ +\ 60m\ + 25$

$a^2\ = 36m^2\ +\ 60m\ + 24\ +\ 1$

$a^2\ = 6(6m^2\ +\ 10m\ +\ 4)\ +\ 1$

$a^2\ = 6q\ +\ 1$，其中 $q\ =\ 6m^2\ +\ 10m\ +\ 4$

因此，奇数的平方可以表示为 $6q+1$ 或 $6q+3$ 的形式，其中 $q$ 为某个整数。

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更新于： 2022年10月10日

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