证明任何奇正整数的平方都可以表示为 8q+1 的形式，其中 q 为整数。

已知：命题“奇正整数的平方可以表示为 8q + 1 的形式，其中 q 为整数”。

证明：我们需要证明上述命题。

解答

设 'a' 为任意正整数。

根据欧几里德除法定理

a = bq + r，其中 0 ≤ r < b。

这里，b = 8。则

a = 8q + r，其中 0 ≤ r < 8。

但根据题意，我们需要考虑奇正整数的平方，则 r = 1, 3, 5, 7。

取 r = 1

a = 8q + 1

两边平方:

a² = (8q + 1)²

a² = 64q² + 16q + 1

a² = 8(8q² + 2q) + 1

a² = 8m + 1

其中，m = 8q² + 2q。

取 r = 3，

a = 8q + 3

两边平方:

a² = (8q + 3)²

a² = 64q² + 48q + 9

a² = 64q² + 48q + 8 + 1

a² = 8(8q² + 6q + 1) + 1

a² = 8m + 1

其中，m = 8q² + 6q + 1

取 r = 5，

a = (8q + 5)

两边平方:

a² = 64q² + 80q + 25

a² = 64q² + 80q + 24 + 1

a² = 8(8q² + 10q + 3) + 1

a² = 8m + 1

其中，m = 8q² + 10q + 3

取 r = 7，

a = 8q + 7

两边平方:

a² = (8q + 7)²

a² = 64q² + 112q + 49

a² = 64q + 112q + 48 + 1

a = 8(8q + 14q + 6) + 1

a² = 8m + 1

其中，m = 8q + 14q + 6

因此，任何奇正整数的平方都可以表示为 8q + 1 的形式。

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更新于：2022年10月10日

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