利用欧几里得除法引理证明任何正整数的平方都可以表示为3m 或 3m+1的形式，其中m为整数。

已知

已知正整数为'm'。

要求

我们必须证明任何正整数的平方都可以表示为3m 或 3m+1的形式，其中m为整数。

解答

根据欧几里得除法算法，

$a = b q + r$，其中$0 \leq r < b$。

设a为正整数，b = 3。

那么，$a = 3 q + r$，其中$0 \leq r < 3$。

r 的可能取值为 0，1，2。

当$r = 0$时，

$a = 3 q + r$

$a = 3 q + 0$

$a = 3 q$

两边平方，

$a^2 = (3 q)^2$

$a^2 = 9 q^2$

$a^2 = 3(3 q^2)$

$a^2 = 3 m$；其中$m = 3 q^2$。

当$r = 1$时

$a = 3 q + r$

$a = 3 q + 1$

两边平方，

$a^2 = (3 q + 1)^2$

$a^2 = (3 q)^2 + 1^2 + 2 (3q) (1)$                           $[(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]$

$a^2 = 9 q^2 + 1 + 6q$

$a^2 = 9 q^2 + 6q + 1$

$a^2 = 3(3 q^2 + 2 q) + 1$

$a^2 = 3 m + 1$；其中$m = 3 q^2 + 2 q$。

当$r = 2$时

$a = 3 q + r$

$a = 3 q + 2$

两边平方，

$a^2 = (3 q + 2)^2$

$a^2 = (3 q)^2 + 2^2 + 2 (3q) (2)$                           $[(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]$

$a^2 = 9 q^2 + 4 + 12q$

$a^2 = 9 q^2 + 12 q + 4$

$a^2 = 9 q^2 + 12 q + 3 + 1$

$a^2 = 3(3 q^2 + 4 q + 1) + 1$

$a^2 = 3 m + 1$；其中$m = 3 q^2 + 4 q + 1$。

因此，任何正整数的平方都可以表示为3m 或 3m+1的形式，其中

m为整数。

Tutorialspoint

更新于：2022年10月10日

浏览量：60

开启你的职业生涯

完成课程获得认证

开始学习