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法律研究利用欧几里得除法引理证明任何正整数的平方都可以表示为3m 或 3m+1的形式，其中m为整数。
已知
已知正整数为'm'。
要求
我们必须证明任何正整数的平方都可以表示为3m 或 3m+1的形式，其中m为整数。
解答
根据欧几里得除法算法，
$a = b q + r$，其中$0 \leq r < b$。
设a为正整数，b = 3。
那么，$a = 3 q + r$，其中$0 \leq r < 3$。
r 的可能取值为 0，1，2。
当$r = 0$时，
$a = 3 q + r$
$a = 3 q + 0$
$a = 3 q$
两边平方，
$a^2 = (3 q)^2$
$a^2 = 9 q^2$
$a^2 = 3(3 q^2)$
$a^2 = 3 m$；其中$m = 3 q^2$。
当$r = 1$时
$a = 3 q + r$
$a = 3 q + 1$
两边平方，
$a^2 = (3 q + 1)^2$
$a^2 = (3 q)^2 + 1^2 + 2 (3q) (1)$ $[(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]$
$a^2 = 9 q^2 + 1 + 6q$
$a^2 = 9 q^2 + 6q + 1$
$a^2 = 3(3 q^2 + 2 q) + 1$
$a^2 = 3 m + 1$；其中$m = 3 q^2 + 2 q$。
当$r = 2$时
$a = 3 q + r$
$a = 3 q + 2$
两边平方，
$a^2 = (3 q + 2)^2$
$a^2 = (3 q)^2 + 2^2 + 2 (3q) (2)$ $[(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]$
$a^2 = 9 q^2 + 4 + 12q$
$a^2 = 9 q^2 + 12 q + 4$
$a^2 = 9 q^2 + 12 q + 3 + 1$
$a^2 = 3(3 q^2 + 4 q + 1) + 1$
$a^2 = 3 m + 1$；其中$m = 3 q^2 + 4 q + 1$。
因此，任何正整数的平方都可以表示为3m 或 3m+1的形式，其中
m为整数。
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