一个正整数的形式为 $3q + 1$，其中 $q$ 是一个自然数。你能否将其平方写成除 $3m + 1$ 之外的任何形式，即对于某个整数 $m$，写成 $3m$ 或 $3m + 2$ 的形式？请说明你的答案。

已知： 

形式为 $3q\ +\ 1$ 的正整数。

要求： 

我们必须检查 $3q\ +\ 1$ 的平方是否以除 $3m+1$ 之外的任何形式存在，对于某个整数 $m$，是否可以写成 $3m$ 或 $3m+2$ 的形式。

解答

根据欧几里得引理，

如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数；

• $a\ =\ bq\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。 

如果 $b\ =\ 3$，则；

• $a\ =\ 3q\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ 3$。
• 所以，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2$

当 $r\ =\ 0$ 时

$a\ =\ 3q$

两边平方，得到:

$a^2\ = (3q)^2$

$a^2\ = 9q^2$

$a^2\ = 3(3q^2)$

$a^2\ = 3m$，其中 $m\ =\ 3q^2$

当 $r\ =\ 1$ 时

$a\ =\ 3q\ +\ 1$

两边平方，得到:

$a^2\ = (3q\ +\ 1)^2$

$a^2\ = 9q^2\ +\ 6q\ + 1$

$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 2q)\ +\ 1$

$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中 $m\ =\ 3q^2\ +\ 2q$

当 $r\ =\ 2$ 时

$a\ =\ 3q\ +\ 2$

两边平方，得到:

$a^2\ = (3q\ +\ 2)^2$

$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 4$

$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 3\ +\ 1$

$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 4q\ +\ 1)\ +\ 1$

$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中 $m\ =\ 3q^2\ +\ 4q\ +\ 1$

因此，形式为 $3q\ +\ 1$ 的正整数的平方总是以 $3m$ 或 $3m\ +\ 1$ 的形式存在，其中 $m$ 为某个整数。 

教程点

更新于： 2022年10月10日

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