任何正整数的平方是否可以表示为$3m + 2$的形式，其中$m$是自然数？请说明你的答案。

已知： 

"任何正整数的平方都不能表示为$3m+2$的形式，其中$m$是自然数"。

要求： 

我们需要判断给定语句是真还是假。

解答

根据欧几里得引理，

如果$a$和$b$是两个正整数；

• $a\ =\ bq\ +\ r$，其中$0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。 

如果$b\ =\ 3$，则；

• $a\ =\ 3q\ +\ r$，其中$0\ \underline{< }\ r\ <\ 3$。
• 所以，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2$

当，$r\ =\ 0$

$a\ =\ 3q$

两边平方，得到:

$a^2\ = (3q)^2$

$a^2\ = 9q^2$

$a^2\ = 3(3q^2)$

$a^2\ = 3m$，其中$m\ =\ 3q^2$

当，$r\ =\ 1$

$a\ =\ 3q\ +\ 1$

两边平方，得到:

$a^2\ = (3q\ +\ 1)^2$

$a^2\ = 9q^2\ +\ 6q\ + 1$

$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 2q)\ +\ 1$

$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中$m\ =\ 3q^2\ +\ 2q$

当，$r\ =\ 2$

$a\ =\ 3q\ +\ 2$

两边平方，得到:

$a^2\ = (3q\ +\ 2)^2$

$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 4$

$a^2\ = 9q^2\ +\ 12q\ + 3\ +\ 1$

$a^2\ = 3(3q^2\ +\ 4q\ +\ 1)\ +\ 1$

$a^2\ = 3m\ +\ 1$，其中$m\ =\ 3q^2\ +\ 4q\ +\ 1$

因此，任何正数的平方都不能表示为$3m\ +\ 2$的形式。

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更新于： 2022年10月10日

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