在下列每个问题中，写出“真”或“假”，并说明你的答案
$2 \sin \theta$的值可以是$a+\frac{1}{a}$，其中$a$是一个正数，且$a \neq 1$

已知

$2 \sin \theta$的值可以是$a+\frac{1}{a}$，其中$a$是一个正数，且$a ≠ 1$。

要求

我们必须确定给定语句是真还是假。

解答

$a$是一个正数，且$a ≠1$

这意味着，

$AM>GM$

两个数$a$和$b$的算术平均数(AM)和几何平均数(GM)分别为$\frac{(a+b)}{2}$和$\sqrt{a b}$。

因此，

$\frac{a+\frac{1}{a}}{2}>\sqrt{a \times \frac{1}{a}}$

$(a+\frac{1}{a})>2$

$2 \sin \theta>2$      ($2 \sin \theta=a+\frac{1}{a}$)

$\sin \theta>1$，这是不可能的。        [因为$-1 \leq \sin \theta \leq 1$]

因此，$2 \sin \theta$的值不能是$a+\frac{1}{a}$。

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更新于： 2022年10月10日

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