证明任何正整数的平方不可能是 3m+2 的形式，其中 m 是自然数。

已知：命题“任何正整数的平方不可能是 3m+2 的形式，其中 m 是自然数”。

证明：我们需要证明上述命题。

解答

根据欧几里得引理：

如果 a 和 b 是两个正整数；

  • a = bq + r，其中 0 ≤ r < b。

如果 b = 3，则：

  • a = 3q + r，其中 0 ≤ r < 3。
  • 所以，r = 0, 1, 2

当 r = 0 时

a = 3q

两边平方，我们得到:

a² = (3q)²

a² = 9q²

a² = 3(3q²)

a² = 3m，其中 m = 3q²

当 r = 1 时

a = 3q + 1

两边平方，我们得到:

a² = (3q + 1)²

a² = 9q² + 6q + 1

a² = 3(3q² + 2q) + 1

a² = 3m + 1，其中 m = 3q² + 2q

当 r = 2 时

a = 3q + 2

两边平方，我们得到:

a² = (3q + 2)²

a² = 9q² + 12q + 4

a² = 9q² + 12q + 3 + 1

a² = 3(3q² + 4q + 1) + 1

a² = 3m + 1，其中 m = 3q² + 4q + 1

因此，任何正数的平方不可能是 3m + 2 的形式。

更新于：2022年10月10日

56 次浏览

开启你的职业生涯

完成课程获得认证

开始学习
广告