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法学证明任何正整数的平方不可能是 5q + 2 或 5q + 3 的形式，其中 q 为任何整数。
已知：
"任何正整数的平方不可能是 5q+2 或 5q+3 的形式，其中 q 为任何正整数"。
要求：
我们必须证明给定的陈述。
解答
根据欧几里得除法引理：
如果 a 和 b 是两个正整数；
- a = bm + r，其中 0 ≤ r < b。
如果 b = 5，则：
- a = 5m + r，其中 0 ≤ r < 5。
- 所以，r = 0, 1, 2, 3, 4
当 r = 0 时
a = 5m
两边平方，我们得到:
a² = (5m)²
a² = 25m²
a² = 5(5m²)
a² = 5q，其中 q = 5m²
当 r = 1 时
a = 5m + 1
两边平方，我们得到:
a² = (5m + 1)²
a² = 25m² + 10m + 1
a² = 5(5m² + 2m) + 1
a² = 5q + 1，其中 q = 5m² + 2m
当 r = 2 时
a = 5m + 2
两边平方，我们得到:
a² = (5m + 2)²
a² = 25m² + 20m + 4
a² = 5(5m² + 4m) + 4
a² = 5q + 4，其中 q = 5m² + 4m
当 r = 3 时
a = 5m + 3
两边平方，我们得到:
a² = (5m + 3)²
a² = 25m² + 30m + 9
a² = 25m² + 30m + 5 + 4
a² = 5(5m² + 6m + 1) + 4
a² = 5q + 4，其中 q = 5m² + 6m + 1
当 r = 4 时
a = 5m + 4
两边平方，我们得到:
a² = (5m + 4)²
a² = 25m² + 40m + 16
a² = 25m² + 40m + 15 + 1
a² = 5(5m² + 8m + 3) + 1
a² = 5q + 1，其中 q = 5m² + 8m + 3
因此，任何正整数的平方都不可能是 5q+2 或 5q+3 的形式，其中 q 为任何正整数。
更新于：2022年10月10日
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