证明任何正奇数都可以表示为 $6q+1$ 或 $6q+3$ 或 $6q+5$ 的形式，其中 q 是某个整数。

已知：语句“任何正奇数都可以表示为 $6q\ +\ 1$ 或 $6q\ +\ 3$ 或 $6q\ +\ 5$ 的形式，其中 q 是某个整数”。

需要证明：这里我们需要证明给定的语句。

解

根据欧几里得除法引理，

如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数，则

$a\ =\ bq\ +\ r$ 其中，$0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。

设 $a$ 为一个正整数，当它被 6 除时，商为 $q$，余数为 $r$。

$a\ =\ 6q\ +\ r$ 其中，$0\ \underline{< }\ r\ <\ 6$。

所以，$r\ =\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$

现在，

当，$\mathbf{r\ =\ 0}$

$a\ =\ 6q\ +\ 0\ =\ 6q$，可以被 2 整除，所以它是一个偶数。

当，$\mathbf{r\ =\ 1}$

$a\ =\ 6q\ +\ 1$，不能被 2 整除，所以它是一个奇数。

当，$\mathbf{r\ =\ 2}$

$a\ =\ 6q\ +\ 2\ =\ 2(3q\ +\ 1)$，可以被 2 整除，所以它是一个偶数。

当，$\mathbf{r\ =\ 3}$

$a\ =\ 6q\ +\ 3$，不能被 2 整除，所以它是一个奇数。

当，$\mathbf{r\ =\ 4}$

$a\ =\ 6q\ +\ 4\ =\ 2(3q\ +\ 2)$，可以被 2 整除，所以它是一个偶数。

当，$\mathbf{r\ =\ 5}$

$a\ =\ 6q\ +\ 5$，不能被 2 整除，所以它是一个奇数。

因此，任何奇数都可以表示为 $6q\ +\ 1$ 或 $6q\ +\ 3$ 或 $6q\ +\ 5$ 的形式。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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