证明如果一个正整数可以表示为 $6q+5$ 的形式，则它也可以表示为 $3q+2$ 的形式（其中 q 为某个整数），但反之不成立。

已知： 形如 $6q\ +\ 5$ 的正整数。

要证明： 我们需要证明如果一个正整数可以表示为 $6q\ +\ 5$ 的形式，则它也可以表示为 $3q\ +\ 2$ 的形式（其中 q 为某个整数），但反之不成立。

解答

设 $n\ =\ 6q\ +\ 5$，其中 q 为正整数。

我们知道任何正整数都可以表示为 $3k$，$3k\ +\ 1$，$3k\ +\ 2$ 的形式。

现在，

如果 $q\ =\ 3k$，则

$n\ =\ 6(3k)\ +\ 5$

$n\ =\ 18k\ +\ 5$

$n\ =\ 18k\ +\ 3\ +\ 2$

$n\ =\ 3(6k\ +\ 1)\ +\ 2$

$n\ =\ 3m\ +\ 2$

其中 $m\ =\ 6k\ +\ 1$ 且为整数。

如果 $q\ =\ (3k\ +\ 1)$

$n\ =\ 6(3k\ +\ 1)\ +\ 5$

$n\ =\ 18k\ +\ 6\ +\ 5$

$n\ =\ 18k\ +\ 9\ +\ 2$

$n\ =\ 3(6k\ +\ 3)\ +\ 2$

$n\ =\ 3m\ +\ 2$

其中 $m\ =\ 6k\ +\ 3$ 且为整数。

如果 $q\ =\ 3k\ +\ 2$

$n\ =\ 6(3k\ +\ 2)\ +\ 5$

$n\ =\ 18k\ +\ 12\ +\ 5$

$n\ =\ 3(6k\ +\ 5)\ +\ 2$

$n\ =\ 3m\ +\ 2$

其中 $m\ =\ 6k\ +\ 5$ 且为整数。

因此，如果一个正整数可以表示为 $6q\ +\ 5$ 的形式，则它也可以表示为 $3q\ +\ 2$ 的形式。

现在，设 $n\ =\ 3q\ +\ 2$，其中 q 为正整数。

我们知道任何正整数都可以表示为 $6q$，$6q\ +\ 2$，$6q\ +\ 3$，$6q\ +\ 4$，$6q\ +\ 5$ 的形式。

如果 $q\ =\ 6k$，

$n\ =\ 3q\ +\ 2$

$n\ =\ 3(6k)\ +\ 2$

$n\ =\ 18k\ +\ 2$

$n\ =\ 2(9k\ +\ 1)$

$n\ =\ 2m$

这里我们可以清楚地看到 $3q\ +\ 2$ 不是 $6q\ +\ 5$ 的形式。

因此，可以得出结论，如果一个正整数可以表示为 $6q\ +\ 5$ 的形式，则它也可以表示为 $3q\ +\ 2$ 的形式，但反之不成立。

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更新于： 2022年10月10日

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