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法学证明正整数的立方数可以表示为 6q + r 的形式，其中 q 是整数，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5，也具有 6m + r 的形式。
已知：命题“正整数的立方数可以表示为 6q + r 的形式，其中 q 是整数，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5，也具有 6m + r 的形式”。
待证：我们需要证明上述命题。
解答
根据欧几里德除法定理：
如果 a 和 b 是两个正整数；
- a = bq + r，其中 0 ≤ r < b。
如果 b = 6，则：
- a = 6q + r，其中 0 ≤ r < 6。
- 所以，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5
当 r = 0 时
a = 6q
两边立方，得到:
a³ = (6q)³
a³ = 216q³
a³ = 6(36q³)
a³ = 6m，其中 m = 36q³
当 r = 1 时
a = 6q + 1
两边立方，得到:
a³ = (6q + 1)³
a³ = 216q³ + 108q² + 18q + 1
a³ = 6(36q³ + 18q² + 3q) + 1
a³ = 6m + 1，其中 m = 36q³ + 18q² + 3q
当 r = 2 时
a = 6q + 2
两边立方，得到:
a³ = (6q + 2)³
a³ = 216q³ + 216q² + 72q + 8
a³ = 216q³ + 216q² + 72q + 6 + 2
a³ = 6(36q³ + 36q² + 12q + 1) + 2
a³ = 6m + 2，其中 m = 36q³ + 36q² + 12q + 1
当 r = 3 时
a = 6q + 3
两边立方，得到:
a³ = (6q + 3)³
a³ = 216q³ + 324q² + 162q + 27
a³ = 216q³ + 324q² + 162q + 24 + 3
a³ = 6(36q³ + 54q² + 27q + 4) + 3
a³ = 6m + 3，其中 m = 36q³ + 54q² + 27q + 4
当 r = 4 时
a = 6q + 4
两边立方，得到:
a³ = (6q + 4)³
a³ = 216q³ + 432q² + 288q + 64
a³ = 216q³ + 432q² + 288q + 60 + 4
a³ = 6(36q³ + 72q² + 48q + 10) + 4
a³ = 6m + 4，其中 m = 36q³ + 72q² + 48q + 10
当 r = 5 时
a = 6q + 5
两边立方，得到:
a³ = (6q + 5)³
a³ = 216q³ + 540q² + 450q + 125
a³ = 216q³ + 540q² + 450q + 120 + 5
a³ = 6(36q³ + 90q² + 75q + 20) + 5
a³ = 6m + 5，其中 m = 36q³ + 90q² + 75q + 20
因此，正整数的立方数可以表示为 6q + r 的形式，其中 q 是整数，r = 0, 1, 2, 3, 4, 5，也具有 6m + r 的形式。
更新于： 2022年10月10日
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