证明任何正整数的平方都可以表示为 $5q$、$5q+1$、$5q+4$ 的形式，其中 q 是某个整数。

已知：陈述“任何正整数都可以表示为 $5q$、$5q\ +\ 1$、$5q\ +\ 4$ 的形式，其中 q 是某个整数”。

要证明：我们需要证明任何正整数的平方都可以表示为 $5q$、$5q\ +\ 1$、$5q\ +\ 4$ 的形式，其中 q 是某个整数。

解答

设 'a' 为一个整数，使得 $a\ =\ 5m\ +\ r$。

根据欧几里得除法算法

$a\ =\ bm\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ b$。

这里，b = 5。所以，

$a\ =\ 5m\ +\ r$，其中 $0\ \underline{< }\ r\ <\ 5$。

我们需要考虑 r 的所有情况。

当 r = 0 时:

我们也假设 q 等于 $m^2$。

当 $r\ =\ 0$ 时，我们可以得出结论 $a\ =\ 5m$。

$a\ =\ 5m$

$a^2\ =\ ( 5m )^2$

$a^2\ =\ 5 \left( 5m^{2}\right)$

$a^2\ =\ 5q$

当 r = 1 时:

我们也假设 q 等于 $5m^2\ +\ 2m$。

$a\ =\ 5m\ +\ 1$

$a^2\ =\ ( 5m\ +\ 1 )^2$

$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 10m\ +\ 1$

$a^2\ =\ 5( 5m^2\ +\ 2m )\ +\ 1$

$a^2\ =\ 5q\ +\ 1$

当 r = 2 时:

我们也假设 q 等于 $5m^2\ +\ 4m$。

$a\ =\ 5m\ +\ 2$

$a^2\ =\ ​( 5m\ +\ 2 )^2$

$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 20m\ +\ 4$

$a^2\ =\ 5 ( 5m^2\ +\ 4m )\ +\ 4$

$a^2\ =\ 5q\ +\ 4$

当 r = 3 时:

我们也假设 q 等于 $5m^2\ +\ 6m\ +\ 1$。

$a\ =\ 5m\ +\ 3$

$a^2\ =\ ​(5m\ +\ 3)^2$

$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 9\ +\ 30m$

$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 30m\ +\ 5\ +\ 4$

$a^2\ =\ 5 ( 5m^2\ +\ 6m\ +\ 1 )\ +\ 4$

$a^2\ =\ 5q\ +\ 4$。

当 r = 4 时:

我们也假设 q 等于 $5m^2\ +\ 8m\ +\ 3$。

$a\ =\ 5m\ +\ 4$

$a^2\ =\ (5m\ +\ 4)^2$

$a^2\ =\ 25m^2\ +\ 40m\ +\ 15\ +\ 1$

$a^2\ =\ 5 ( 5m^2\ +\ 8m\ +\ 3 )\ +\ 1$

$a^2\ =\ 5q\ +\ 1$

因此，任何正整数的平方都可以表示为 5q 或 5q $+$ 1 或 5q $+$ 4 的形式。

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更新于： 2022-10-10

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