证明任何正整数的平方都可以表示为 $4q$ 或 $4q+1$ 的形式，其中 $q$ 是某个整数。

已知：正整数 $q$。

证明：我们必须证明任何正整数的平方都可以表示为 $4q$ 或 $4q+1$ 的形式，其中 '$q$' 是某个整数。

 

根据欧几里得除法算法，

如果 $a$ 和 $b$ 是两个正整数，

$a = bm + r$，其中 $0 \le r < b$

令 $a$ 为正整数，$b$ 等于 4，

$a = 4m + r$，其中 $0 \le r < 4$，

所以，$r = 0, 1, 2, 3$

现在，

当 $r = 0$ 时，

$a = 4m$

两边平方，得到:

$a^2 = (4m)^2$

$a^2 = 4(4m^2)$

$a^2 = 4q$，其中 $q = 4m^2$

当 $r = 1$ 时，

$a = 4m + 1$

两边平方，得到:

$a^2 = (4m + 1)^2$

$a^2 = 16m^2 + 1 + 8m$

$a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1$

$a^2 = 4q + 1$，其中 $q = 4m^2 + 2m$

当 $r = 2$ 时，

$a = 4m + 2$

两边平方，得到:

$a^2 = (4m + 2)^2$

$a^2 = 16m^2 + 4 + 16m$

$a^2 = 4(4m^2 + 4m + 1)$

$a^2 = 4q$，其中 $q = 4m^2 + 4m + 1$

当 $r = 3$ 时，

$a = 4m + 3$

两边平方，得到:

$a^2 = (4m + 3)^2$

$a^2 = 16m^2 + 9 + 24m$

$a^2 = 16m^2 + 24m + 8 + 1$

$a^2 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1$

$a^2 = 4q + 1$，其中 $q = 4m^2 + 6m + 2$

因此，任何正整数的平方都可以表示为 4q 或 $4q + 1$ 的形式，其中 $q$ 是某个整数。