回答下列问题并说明理由
当一个 5 次多项式除以 \( x^{6}+2 x^{3}+x-1 \) 时，商可以是 \( x^{2}-1 \) 吗？

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待办事项

我们需要回答给定的问题并说明理由。

解决方案

(i) 令除数，一个 5 次多项式为 $ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$

商 $= x^2 -1$

根据多项式除法算法，

被除数 $=$ 除数 $\times$ 商 $+$ 余数

$= (ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f)\times(x^2 -1) +$ 余数

$=$ (一个 7 次多项式) $+$ 余数

但给定的被除数是一个 6 次多项式。

这里，除法算法不满足。

因此，当一个 5 次多项式除以 $x^{6}+2 x^{3}+x-1$ 时，商不能是 $x^2 -1$。

(ii) 这里，

除数 $=px3 + qx2 + rx + s, p≠0$

被除数 $= ax^2 + bx + c$

我们观察到，

除数的次数 $>$ 被除数的次数

我们知道，

如果被除数的次数小于除数的次数，则商为零，余数与被除数相同。

因此，根据除法算法，

商 $= 0$ 且余数 $= ax^2 + bx + c$

(iii) 如果多项式 p(x) 除以多项式 g(x) 的商为零，则 p(x) 和 g(x) 的次数关系是 p(x) 的次数小于 g(x) 的次数。

例如，

$p(x)=10x$ 且 $g(x)=5x^2$

(iv) 如果非零多项式 p(x) 除以多项式 g(x) 的余数为零，则 g(x) 是 p(x) 的因式，并且其次数小于或等于 p(x) 的次数。

例如，

$p(x)=10x^2$ 且 $g(x)=5x$ 则 $p(x) \div g(x)=10x^2 \div 5x=2x$

 $p(x)=10x^2$ 且 $g(x)=5x^2$ 则 $p(x) \div g(x)=10x^2 \div 5x^2=2$

(v) 令 $p(x) = x^2 + kx + k$

如果 $p(x)$ 有相等的根，则其判别式为零。

$D = b^2 -4ac = 0$                        这里，

$a =1, b = k$ 且 $c = k$

因此，

$(k)^2-4(1)(k) = 0$

$k(k- 4)=0$

$k =0$ 或 $k=4$

这意味着，二次多项式 $p(x)$ 在 $k =0, 4$ 处有相等的根。

因此，二次多项式 \( x^{2}+k x+k \) 对于某些大于 1 的奇数 \( k \) 不能有相等的根。