对下列每一题，将多项式 $p(x)$ 除以多项式 $g(x)$，并求出商和余数
$p(x) =x^4 - 3x^2 + 4x + 5, g(x) = x^2 + 1 -x$

学术数学 NCERT 10年级

已知

$p(x) =x^4 - 3x^2 + 4x + 5, g(x) = x^2 + 1 -x$

任务

我们必须将多项式 $p(x)$ 除以多项式 $g(x)$ 并求出商和余数。

解答

$p(x) = x^4 - 3x^2 + 4x + 5$

$g(x) = x^2+1 -x$

因此，商为 $x^2+x-3$，余数为 $8$。

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更新于: 2022年10月10日

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对下列每一题，将多项式 $p(x)$ 除以多项式 $g(x)$，并求出商和余数：(i) $p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x -3, g(x) = x^2-2$(ii) $p(x) =x^4 - 3x^2 + 4x + 5, g(x) = x^2 + 1 -x$(iii) $p(x) = x^4 - 5x + 6, g(x) = 2 -x^2$
对下列每一题，将多项式 $p(x)$ 除以多项式 $g(x)$，并求出商和余数：$p(x) = x^4 - 5x + 6, g(x) = 2 -x^2$
将多项式 $p(x)$ 除以多项式 $g(x)$，并求出下列每一题的商和余数：$(p(x)=x^3-3x^2+5x-3，g(x)=x^2-2)$。
将 $x^3 - 3x^2 + x + 2$ 除以多项式 $g(x)$，商为 $x - 2$，余数为 $-2x + 4$。求 $g(x)$。
使用因式定理确定在下列每种情况下 \( g(x) \) 是否为 \( p(x) \) 的因式：(i) \( p(x)=2 x^3+x^2-2 x-1, g(x)=x+1 \)(ii) \( p(x)=x^3+3 x^2+3 x+1, g(x)=x+2 \)(iii) \( p(x)=x^3-4 x^2+x+6, g(x)=x-3 \)
回答以下问题并说明理由：如果将多项式 \( p(x) \) 除以多项式 \( g(x) \) 时，商为零，那么 \( p(x) \) 和 \( g(x) \) 的次数之间有什么关系？
求多项式 \( x^2+x-p(p+1) \) 的零点。
在下列每一题中，使用余数定理，求 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的余数，并通过实际除法验证结果。$f(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 10, g(x) = x + 4$
通过应用除法算法，检查第一个多项式是否是第二个多项式的因式：$g(x)\ =\ x^3\ –\ 3x\ +\ 1;\ f(x)\ =\ x^5\ –\ 4x^3\ +\ x^2\ +\ 3x\ +\ 1$
在下列每一题中，使用因式定理来判断多项式 $g(x)$ 是否为多项式 $f(x)$ 的因式。$f(x) = x^5 + 3x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x + 15, g(x) = x + 3$
应用除法算法，求将 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 时的商 $q(x)$ 和余数 $r(x)$：$f(x)\ =\ 4x^3\ +\ 8x^2\ +\ 8x\ +\ 7,\ g(x)\ =\ 2x^2\ –\ x\ +\ 1$
回答以下问题并说明理由：如果将非零多项式 \( p(x) \) 除以多项式 \( g(x) \) 时，余数为零，那么 \( p(x) \) 和 \( g(x) \) 的次数之间有什么关系？
应用除法算法，求将 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 时的商 $q(x)$ 和余数 $r(x)$：$f(x)\ =\ x^3\ –\ 6x^2\ +\ 11x\ –\ 6,\ g(x)\ =\ x^2\ +\ x\ +\ 1$
验证下列哪些是对应多项式的零点。(i) \( p(x)=3 x+1, x=-\frac{1}{3} \)(ii) \( p(x)=5 x-\pi, x=\frac{4}{5} \)(iii) \( p(x)=x^2-1, x=1,-1 \)(iv) \( p(x)=(x+1)(x-2), x=-1,2 \)(v) \( p(x)=x^2, x=0 \)(vi) \( p(x)=l x+m, x=-\frac{m}{l} \)(vii) \( p(x)=3 x^2-1, x=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \)(viii) \( p(x)=2 x+1, x=\frac{1}{2} \)
在下列每种情况下，求多项式的零点：(i) \( p(x)=x+5 \)(ii) \( p(x)=x-5 \)(iii) \( p(x)=2 x+5 \)(iv) \( p(x)=3 x-2 \)(v) \( p(x)=3 x \)(vi) \( p(x)=a x, a ≠ 0 \)(vii) \( p(x)=c x+d, c ≠ 0, c, d \) 为实数。

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