对于哪些值 \( \lambda \)，线性方程组 \( \lambda x+y=\lambda^{2} \) 和 \( x+\lambda y=1 \) 有唯一解？

已知：

给定的方程组为

$λx + y = λ^2$ 和 $x + λy = 1$

要求：

我们必须找到 $λ$ 的值，使得给定的方程组有唯一解。

解

给定的方程组可以写成

$λx + y -λ^2=0$

$x + λy -1=0$

两个变量方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

上述方程组有唯一解的条件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ ≠ \frac{b_{1}}{b_{2}} \ $

将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有，

$a_1=λ, b_1=1, c_1=-λ^2$ 和 $a_2=1, b_2=λ, c_2=-1$

因此，

$\frac{λ}{1}≠ \frac{1}{λ}$

$λ≠ \frac{1}{λ}$

$λ \times λ≠ 1$

$λ^2≠ 1$

$λ≠ 1$ 或 $λ≠ -1$

因此，使给定方程组有唯一解的 $λ$ 的值为“除 $-1$ 和 $1$ 之外的所有实数”。 

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更新于： 2022-10-10

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