对于哪个或哪些 $λ$ 的值，线性方程组 $λx + y = λ^2$ 和 $x + λy = 1$ 无解？

已知：

给定的方程组为

$λx + y = λ^2$ 和 $x + λy = 1$

要求：

我们必须找到 $λ$ 的值，使得给定的方程组无解。

解答

给定的方程组可以写成

$λx + y -λ^2=0$

$x + λy -1=0$

两个变量方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

上述方程组无解的条件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} ≠ \frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有：

$a_1=λ, b_1=1, c_1=-λ^2$ 和 $a_2=1, b_2=λ, c_2=-1$

因此，

$\frac{λ}{1}=\frac{1}{λ}≠\frac{-λ^2}{-1}$

$λ=\frac{1}{λ}≠λ^2$

$λ=\frac{1}{λ}$ 和 $\frac{1}{λ}≠λ^2$

$λ \times λ=1$ 和 $λ^2 \times λ≠1$

$λ^2=1$ 和 $λ^3≠1$

$λ=1$ 或 $λ=-1$ 且 $λ≠1$

因此，

$λ=-1$

使得给定的方程组无解的 $λ$ 的值为 $-1$。   

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更新于： 2022 年 10 月 10 日

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