求解使得下列线性方程组有无穷多解的 k 的值。
$2x+3y=7;\ ( k-1) x+( k+2) y=3k$

已知：一对线性方程组 $2x+3y=7;\ ( k-1) x+( k+2) y=3k$

要求：求解使得这对方程组有无穷多解的 k 的值。

如果有两个方程 $a_{1} x+b_{1} y=c_{1}\ 和\ a_{2} x+b_{2} y=c_{2}$

为了有无穷多解，需要满足一个条件

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

这里给定的线性方程组

$2x+3y=7$

$( k-1) x+( k+2) y=3k\ $

这里 $a_{1} =2$,$b_{1} =3$ 和 $c_{1} =7$

$a_{2} =( k-1)$ ,$b_{2} =( k+2)$  和 $c_{2} =3k$

为了使这对方程组有无穷多解，需要满足以下条件。

$\frac{2}{k-1} =\frac{3}{k+2} =\frac{7}{3k}$

$\frac{2}{k-1} =\frac{3}{k+2}$

$\Rightarrow 2( k+2) \ =3( k-1)$

$\Rightarrow 2k+4\ =\ 3k-3$

$\Rightarrow 3k-2k=4+3$

$\Rightarrow k=7$