求使下列方程组有无限多解的 $k$ 的值
$2x\ +\ 3y\ =\ k$$(k\ -\ 1)x\ +\ (k\ +\ 2)y\ =\ 3k$

已知：

给定的方程组为

$2x\ +\ 3y\ =\ k$

$(k\ -\ 1)x\ +\ (k\ +\ 2)y\ =\ 3k$

要求：

我们要求使给定方程组有无限多解的 $k$ 的值。

解

给定的方程组可以写成

$2x\ +\ 3y\ -\ k=0$

$(k\ -\ 1)x\ +\ (k\ +\ 2)y\ -\ 3k\ =\ 0$

两个变量方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

使上述方程组有无限多解的条件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有，

$a_1=2, b_1=3, c_1=-k$ 和 $a_2=k-1, b_2=k+2, c_2=-3k$

因此，

$\frac{2}{k-1}=\frac{3}{k+2}=\frac{-k}{-3k}$

$\frac{2}{k-1}=\frac{3}{k+2}=\frac{1}{3}$

$\frac{2}{k-1}=\frac{1}{3}$ 和 $\frac{3}{k+2}=\frac{1}{3}$

$3\times2=(k-1)\times1$ 和 $3\times3=(k+2)\times1$

$6=k-1$ 和 $9=k+2$

$k=6+1$ 和 $k=9-2$

$k=7$

使给定方程组有无限多解的 $k$ 的值为 $7$。

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更新于： 2022年10月10日

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