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法律研究求解以下方程组有无数解时 k 的值
$x\ +\ (k\ +\ 1)y\ =\ 4$
$(k\ +\ 1)x\ +\ 9y\ =\ 5k\ +\ 2$
已知： 给定的方程为 $x\ +\ (k\ +\ 1)y\ =\ 4$ ;$(k\ +\ 1)x\ +\ 9y\ =\ 5k\ +\ 2$
要求： 求解以下方程组有无数解时 $k$ 的值。
解
给定的方程组为
$x\ +\ (k\ +\ 1)y\ =\ 4$
$(k\ +\ 1)x\ +\ 9y\ =\ 5k\ +\ 2$
方程组的形式为 $a_{1} x+b_{1} y=c_{1}\ 和\ a_{2} x+b_{2} y=c_{2}$
这里，$a_1 = 1, b_1=k+1, c_1=-4 \ 和 \ a_2=k+1, b_2=9, c_2=-(5k+2) $
为了使方程组有无数解，需要满足以下条件
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $
$\frac{1}{k+1} =\frac{k+1}{9} =\frac{-4}{-(5k+2)} \ $
现在， $\frac{1}{k+1} =\frac{k+1}{9} $ 和 $\frac{k+1}{9} =\frac{4}{5k+2} $
$(k+1)^2=9$ 和 $(5k+2)(k+1)=4\times9$
$k^2+2k+1=9$ 和 $5k^2+5k+2k+2=36$
$k^2+2k+1-9=0$ 和 $5k^2+7k+2-36=0$
$k^2+2k-8=0$ 和 $5k^2+17k-10k-34=0$
$k(k+4)-2(k+4)=0$ 和 $(5k+17)-2(5k+17)=0$
$(k+4)(k-2)=0$ 和 $(5k+17)(k-2)=0$
$k=-4 , k=2$ 和 $k=-\frac{17}{5}, k=2$
$k=2$ 满足条件
因此，当 $k = 2$ 时，方程组有无数解
更新于： 2022 年 10 月 10 日
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