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法律研究求使下列方程组
\(2 x+k y=1\)
\( 3 x-5 y=7 \)
无解的 $k$ 的值。是否存在某个 $k$ 的值使得该方程组有无限多个解？
已知：
给定的方程组为
\(2 x+k y=1\)
\( 3 x-5 y=7 \)
要求：
我们要求出 $k$ 的值，使得给定的方程组无解，以及是否存在某个 $k$ 的值使得给定的方程组有无限多个解。
解答
给定的方程组可以写成
$2x+ky-1=0$
$3x-5y-7=0$
二元一次方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。
将给定的方程组与标准形式的方程进行比较，我们有：
$a_1=2, b_1=k, c_1=-1$ 以及 $a_2=3, b_2=-5, c_2=-7$
上述方程组无解的条件是
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} ≠ \frac{c_{1}}{c_{2}} \ $
因此，
$\frac{2}{3}=\frac{k}{-5}≠\frac{-1}{-7}$
$\frac{2}{3}=\frac{k}{-5}≠\frac{1}{7}$
$\frac{2}{3}=\frac{k}{-5}$
$k=\frac{-5\times2}{3}$
$k=\frac{-10}{3}$
给定的方程组有无限多个解的条件是
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{c_{1}}{c_{2}} \ $
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}$
这里，
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ ≠ \frac{c_{1}}{c_{2}} \ $
因此，不存在某个 $k$ 的值使得给定的方程组有无限多个解。
使得给定的方程组无解的 $k$ 的值为 $\frac{-10}{3}$。
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