对于下列联立方程组求出 k 的值，使联立方程组具有无穷多解。$(k−3)x+3y=k$ 和 $kx+ky=12$.

已知：线性方程组：$(k−3)x+3y$; $kx+ky=12$

任务：求出 k 的值，使得给定的方程组具有无限多个解。

给定的线性方程组是

$(k - 3 ) x + 3y = k$

$kx + ky = 12$

我们可以将这些方程写成

$( k - 3 ) x + 3y - k = 0……….( 1)$

$kx + ky - 12 = 0 ………….( 2)$

与含有两个变量 x 和 y 的线性方程组的一般形式进行比较

$a_1x + b_1y + c_1 = 0$

和 $a_2x + b_2y + c_2= 0$

$a_1=k-3,\ b_1=-3,\ c_1=-k$

$a_2= k,\ b_2=k,\ c_2=-12$

$\frac{a_1}{a_2}= \frac{k-3}{k},\ \frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{k},\ \frac{c_1}{c_2}=\frac{-k}{-12}=\frac{k}{12}$

已知，如果

$\frac{a_1}{a_2} =\frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

则线性方程组有无限个解

选取前两项

$\Rightarrow \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$

$\Rightarrow \frac{k-3} {k} =\frac{3}{k}$

$\Rightarrow k - 3 = 3$

$\Rightarrow k = 3 + 3$

$\Rightarrow k = 6$

选取第二和第三项

$\Rightarrow \frac{3}{k}= \frac{k}{12}$

$\Rightarrow k^2 = 36$

$\Rightarrow k =\sqrt{36}$

$\Rightarrow k = 6$

因此，若 $k=6$，给定的方程对将有无数多个解。