对于哪些值 $\lambda$，线性方程组 $\lambda x+y=\lambda^{2}$ 和 $x+\lambda y=1$ 无解？

已知：

给定的方程组为

$\lambda x+y=\lambda^{2}$ 和 $x+\lambda y=1$

需要求解：

我们需要找到 $\lambda$ 的值，使得给定的方程组具有

(i) 无解。

(ii) 无限多个解

(iii) 唯一解

解答

给定的方程组可以写成

$\lambda x + y -\lambda^2=0$

$x + \lambda y -1=0$

二元一次方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有：

$a_1=\lambda, b_1=1, c_1=-\lambda^2$ 和 $a_2=1, b_2=\lambda, c_2=-1$

(i) 上述方程组无解的条件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} ≠ \frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

因此，

$\frac{\lambda}{1}=\frac{1}{\lambda}≠\frac{-\lambda^2}{-1}$

$\lambda=\frac{1}{\lambda}≠\lambda^2$

$\lambda=\frac{1}{\lambda}$ 且 $\frac{1}{\lambda}≠\lambda^2$

$\lambda \times \lambda=1$ 且 $\lambda^2 \times \lambda≠1$

$\lambda^2=1$ 且 $\lambda^3≠1$

$\lambda=1$ 或 $\lambda=-1$ 且 $\lambda≠1$

因此，

$\lambda=-1$

使得给定方程组无解的 $\lambda$ 的值为 $-1$。    

(ii) 上述方程组有无限多个解的条件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ =\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} \ $

因此，

$\frac{\lambda}{1}=\frac{1}{\lambda}=\frac{-\lambda^2}{-1}$

$\lambda=\frac{1}{\lambda}=\lambda^2$

$\lambda=\frac{1}{\lambda}$ 且 $\frac{1}{\lambda}=\lambda^2$

$\lambda \times \lambda=1$ 且 $\lambda^2 \times \lambda=1$

$\lambda^2=1$ 且 $\lambda^3=1$

$\lambda=1$ 或 $\lambda=-1$ 且 $\lambda=1$

因此，

$\lambda=1$

使得给定方程组有无限多个解的 $\lambda$ 的值为 $1$。    

(iii) 上述方程组有唯一解的条件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} \ ≠ \frac{b_{1}}{b_{2}} \ $

因此，

$\frac{\lambda}{1}≠ \frac{1}{\lambda}$

$\lambda≠ \frac{1}{\lambda}$

$\lambda \times \lambda≠ 1$

$\lambda^2≠ 1$

$\lambda≠ 1$ 或 $\lambda≠ -1$

因此，使得给定方程组有唯一解的 $\lambda$ 的值为“除 $-1$ 和 $1$ 外的所有实数”。 

教程点

更新时间： 2022-10-10

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