采用图解法，判断下列方程组是否相容。如果相容，则求解。
\( 3 x+y+4=0 \)
\( 6 x-2 y+4=0 \)

解题步骤

我们需要判断给定的线性方程组是否相容/不相容。如果相容，则用图形法求解。

解答

(i) $3x+y+4=0$.........(i)

$6x-2y+4=0$.........(ii)

这里，

$a_{1}=3, b_{1}=1, c_{1}=4$

$a_{2}=6, b_{2}=-2, c_{2}=4$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{3}{6}$

$=\frac{1}{2}$

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{-2}$

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{4}{4}$

$=1$

$\frac{a_{1}}{a_{2}} ≠ \frac{b_{1}}{b_{2}}$

这意味着，

给定的方程组相容。

对于方程 (i)，

$y=-4-3x$

在坐标系上绘制点 $( 0,\ -4)$ 和 $(-1,\ -1)$，并连接它们得到方程 $3x+y+4=0$ 的图像。

$3x+y+4=0$

对于方程 (ii)，

$2y=6x+4$

$y=3x+2$

在坐标系上绘制点 $(-1,\ -1)$ 和 $( 0,\ 2)$，并连接它们得到方程 $6x-2y+4=0$ 的图像。

$x=-1,\ y=-1$ 是给定方程组的解。因此，该方程组相容。

(ii) $x-2y-6=0$.........(i)

$3x-6y=0$.........(ii)

这里，

$a_{1}=1, b_{1}=-2, c_{1}=-6$

$a_{2}=3, b_{2}=-6, c_{2}=0$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}$

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-6}$

$=\frac{1}{3}$

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-6}{0}$

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}≠\frac{c_{1}}{c_{2}}$

这意味着，

由给定方程表示的直线平行。

因此，给定的方程组不相容。

(iii) $x+y-3=0$.........(i)

$3x+3y-9=0$.........(ii)

这里，

$a_{1}=1, b_{1}=1, c_{1}=-3$

$a_{2}=3, b_{2}=3, c_{2}=-9$

$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{3}$

$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{1}{3}$

$\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-3}{-9}$

$=\frac{1}{3}$

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_1}{c_2}$

这意味着，

给定的方程组是重合的，因此是相容的。

对于方程 (i)，

$y=3-x$

在坐标系上绘制点 $( 0,\ 3)$ 和 $(3,\ 0)$，并连接它们得到方程 $x+y=3$ 的图像。

对于方程 (ii)，

$3y=9-3x$

$y=3-x$

在坐标系上绘制点 $(0,\ 3)$ 和 $(3,\ 0)$，并连接它们得到方程 $3x+3y=9$ 的图像。

由于直线重合，所以有无穷多个解。

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更新于：2022年10月10日

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