求出以下两元一次方程组中 $p$ 的值
$3 x-y-5=0$ 和 $6 x-2 y-p=0$,
如果这些方程所表示的直线平行。

操作

根据给定的两元一次方程组，求出 $p$ 和 $q$ 的值。

解决方案

(i) 将给定的两元一次方程组与标准形式的线性方程组 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 进行比较，可得：

$a_1=3, b_1=-1$ 且 $c_1=-5$

$a_2=6, b_2=-2$ 且 $c_2=-p$

如果直线相互平行，则方程组无解。

此处，

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-5}{-p}$

因此，

$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{c_1}{c_2}$

$\frac{1}{2}≠\frac{5}{p}$

$p≠5\times2$

$p≠10$

因此，$p$ 的值可为除 $10$ 之外的所有实数值。

(ii) 将给定的两元一次方程组与标准形式的线性方程组 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 进行比较，可得：

$a_1=-1, b_1=p$ 并且 $c_1=-1$

$a_2=p, b_2=-1$ 并且 $c_2=-1$

如果直线相互平行，则方程组无解。

此处，

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{-1}{p}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{p}{-1}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{-1}=1$

因此，

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$

$\frac{-1}{p}=-p$

$-p^2=-1$

$p^2=1$

$p=\sqrt1$

$p=\pm 1$

$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{c_1}{c_2}$

$\frac{-1}{p}≠1$

$p≠-1$

这暗示，

$p=1$

因此，$p$ 的值为 1。

(iii) 将给定的线性方程组与线性方程的标准形式 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 进行比较，我们得到，

$a_1=-3, b_1=5$ 并且 $c_1=-7$

$a_2=2p, b_2=-3$ 并且 $c_2=-1$

如果一个方程组满足以下条件，那么它有一个唯一的解，

$\frac{a_1}{a_2}≠ \frac{b_1}{b_2}$

此处，

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{-3}{2p}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{5}{-3}=-\frac{5}{3}$

因此，

$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$

$\frac{-3}{2p}≠\frac{-5}{3}$

$-3(3)≠-5\times2p$

$-9≠-10p$

$p≠\frac{9}{10}$

因此，$p$ 的值是除了 $\frac{9}{10}$ 之外的所有实数。

(iv) 将给定的线性方程组与线性方程的标准形式 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 进行比较，我们得到，

$a_1=2, b_1=3$ 并且 $c_1=-5$

$a_2=p, b_2=-6$ 并且 $c_2=-8$

如果一个方程组满足以下条件，那么它有一个唯一的解，

$\frac{a_1}{a_2}≠ \frac{b_1}{b_2}$

此处，

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{p}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}$

因此，

$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$

$\frac{2}{p}≠\frac{-1}{2}$

$2(2)≠-1\times p$

$4≠-p$

$p≠-4$

因此，$p$ 的值是除了 $-4$ 之外的所有实数。

(v) 给定的方程组可写成

$2x + 3y -7=0$

$2px +(p+q)y -28=0$

包含两个变量的方程组的标准形式为 $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0$ 和 $a_{2} x+b_{2} y-c_{2}=0$。

上述方程组具有无穷多解的条件是

$\frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$

将给定的方程组与方程的标准形式进行比较，我们有，

$a_1=2, b_1=3, c_1=-7$ 并且 $a_2=2p, b_2=p+q, c_2=-28$

因此，

$\frac{2}{2p}=\frac{3}{p+q}=\frac{-7}{-28}$

$\frac{1}{p}=\frac{1}{4}$

$p=4$

$\frac{3}{p+q}=\frac{1}{4}$

$4\times 3=1(p+q)$

$p+q=12$

$4+q=12$

$q=12-4=8$

给定的方程组具有无穷多解时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $4$ 和 $8$。    

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更新于： 10-Oct-2022

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