用图形方法,求解下列方程组
$2x+y=6$
$2x-y+2=0$
求由表示这些方程的直线与x轴和y轴所形成的两个三角形的面积之比。
已知
给定的方程为
$2x+y=6$
$2x-y+2=0$
要求
我们需要求解给定的方程组,并求由表示这些方程的直线与x轴和y轴所形成的两个三角形的面积之比。
解答
为了用图形表示上述方程,我们需要每个方程至少两个解。
对于方程 $2x+y-6=0$,
$y=6-2x$
如果 $x=0$,则 $y=6-2(0)=6-0=6$
如果 $x=3$,则 $y=6-2(3)=6-6=0$
$x$ | $0$ | $3$ |
$y$ | $6$ | $0$ |
对于方程 $2x-y+2=0$,
$y=2x+2$
如果 $x=0$,则 $y=2(0)+2=2$
如果 $x=-1$,则 $y=2(-1)+2=-2+2=0$
$x$ | $0$ | $-1$ |
$y$ | $2$ | $0$ |
y轴的方程为 $x=0$。
x轴的方程为 $y=0$。
上述情况可以用图形表示如下
直线 AB、CD、BD 和 AC 分别表示方程 $2x+y=6$、$2x-y+2=0$、x轴和y轴。
直线 AB、CD 和 x轴两两相交的点构成了与x轴形成的三角形的顶点。
因此,与x轴形成的三角形的顶点为 $(1,4), (-1,0)$ 和 $(3,0)$.
我们知道,
三角形的面积$=\frac{1}{2}bh$
在图中,三角形的高度是点 E 到 BD 的距离。
三角形的高度$=4$ 个单位。
三角形的底边$=$点 B 和 D 之间的距离。三角形的底边$=1+3=4$ 个单位。
由给定直线和x轴形成的三角形的面积$=\frac{1}{2}\times4\times4$
$=8$ 平方单位。
直线 AB、CD 和 y轴两两相交的点构成了与y轴形成的三角形的顶点。
因此,与y轴形成的三角形的顶点为 $(0,6), (0,2)$ 和 $(1,4)$.
我们知道,
三角形的面积$=\frac{1}{2}bh$
在图中,三角形的高度是点 E 到 AC 的距离。
三角形的高度$=1$ 个单位。
三角形的底边$=$点 A 和 C 之间的距离。三角形的底边$=6-2=4$ 个单位。
由给定直线和y轴形成的三角形的面积$=\frac{1}{2}\times1\times4$
$=2$ 平方单位。
由表示这些方程的直线与x轴和y轴所形成的两个三角形的面积之比为 $8:2=4:1$。