用图形方法解下列方程组
\( 2 x+y=6 \)
\( 2 x-y+2=0 \)
求由表示这些方程的直线与x轴和y轴形成的两个三角形面积的比值。

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 已知

给定的方程为

$2x+y=6$

$2x-y+2=0$

要求

我们需要解这个方程组，并求由表示这些方程的直线与x轴和y轴形成的两个三角形面积的比值。

解答

为了用图形表示上述方程，我们需要每个方程至少两个解。

对于方程 $2x+y-6=0$，

$y=6-2x$

如果 $x=0$，则 $y=6-2(0)=6-0=6$

如果 $x=3$，则 $y=6-2(3)=6-6=0$

$x$	$0$	$3$
$y$	$6$	$0$

对于方程 $2x-y+2=0$，

$y=2x+2$

如果 $x=0$，则 $y=2(0)+2=2$

如果 $x=-1$，则 $y=2(-1)+2=-2+2=0$

$x$	$0$	$-1$
$y$	$2$	$0$

y轴的方程为 $x=0$。

x轴的方程为 $y=0$。

上述情况可以用图形表示如下

直线 AB、CD、BD 和 AC 分别表示方程 $2x+y=6$、$2x-y+2=0$、x轴和y轴。

直线 AB、CD 和 x轴两两相交的点是与x轴形成的三角形的顶点。

因此，与x轴形成的三角形的顶点是 $(1,4), (-1,0)$ 和 $(3,0)$. 

我们知道，

三角形的面积$=\frac{1}{2}bh$

在图中，三角形的高是点 E 到 BD 的距离。

三角形的高$=4$ 个单位。

三角形的底$=$点 B 和 D 之间的距离。

三角形的底$=1+3=4$ 个单位。

由给定直线和x轴形成的三角形的面积$=\frac{1}{2}\times4\times4$

$=8$ 平方单位。

 直线 AB、CD 和 y轴两两相交的点是与y轴形成的三角形的顶点。

因此，与y轴形成的三角形的顶点是 $(0,6), (0,2)$ 和 $(1,4)$. 

我们知道，

三角形的面积$=\frac{1}{2}bh$

在图中，三角形的高是点 E 到 AC 的距离。

三角形的高$=1$ 个单位。

三角形的底$=$点 A 和 C 之间的距离。

三角形的底$=6-2=4$ 个单位。

由给定直线和y轴形成的三角形的面积$=\frac{1}{2}\times1\times4$

$=2$ 平方单位。

由表示这些方程的直线与x轴和y轴形成的两个三角形面积的比值为 $8:2=4:1$。