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以下哪些线性方程组是相容/不相容的?如果是相容的,请用图形方法求解
(i) x+y=5,2x+2y=10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0


待办事项

我们必须找出给定的线性方程组是相容还是不相容,并用图形方法求解。

解答

(i) x+y-5=0

2x+2y-10=0

x+y=5\ \  ...( i)

2x+2y=10\ \ ...( ii)

对于方程 ( i), 

x+y=5

\Rightarrow y=5-x

x05
y50

在图上画出点 ( 0,\ 5)( 5,\ 0),并连接它们得到方程 

x+y=5

对于方程 ( ii), 

2x+2y=10

\Rightarrow y=\frac{10-2x}{2}

x55
y00

在图上画出点 ( 5,\ 0)( 0,\ 5),并连接它们得到方程 2x+2y=0


从上图可以看出,两条直线重合。

因此,方程组有无限多个解。

(ii) 给定方程:x-y=8;\ 3x-3y=16。 

这里,a_1=1,\ b_1=-1,\ c_1=8a_2=3,\ b_2=-3,\ c_2=16

\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}

\frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}

\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}

这里,我们发现 \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}

因此,给定的线性方程组无解。

因此,给定的线性方程组不相容。

(iii) 2x+y-6=0

4x-2y-4=0

2x+y=6\ \  ...( i)

4x-2y=4\ \ ...( ii)

对于方程 ( i), 

2x+y=6

\Rightarrow y=6-2x

x03
y6

0

在图上画出点 ( 0,\ 6)( 3,\ 0),并连接它们得到方程 
3x+y=6
对于方程 ( ii), 
4x-2y=4
\Rightarrow y=\frac{4x-4}{2}
x10
y0-2
在图上画出点 ( 1,\ 0)( 0,\ -2),并连接它们得到方程 4x-2y=0
x=2,\ y=2 是给定方程组的解。所以解是相容的。
(iv) 给定方程:2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0

这里,a_1=2,\ b_1=-2,\ c_1=-2a_2=4,\ b_2=-4,\ c_2=-5

\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}

\frac{c_1}{c_2}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}

这里,我们发现 \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}

因此,给定的线性方程组无解。

因此,给定的线性方程组不相容。

更新于: 2022-10-10

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