以下哪些线性方程组是相容/不相容的?如果是相容的,请用图形方法求解
(i) x+y=5,2x+2y=10
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0。
待办事项
我们必须找出给定的线性方程组是相容还是不相容,并用图形方法求解。
解答
(i) x+y-5=0
2x+2y-10=0
x+y=5\ \ ...( i)
2x+2y=10\ \ ...( ii)
对于方程 ( i),
x+y=5
\Rightarrow y=5-x
x | 0 | 5 |
y | 5 | 0 |
在图上画出点 ( 0,\ 5) 和 ( 5,\ 0),并连接它们得到方程
x+y=5
对于方程 ( ii),
2x+2y=10
\Rightarrow y=\frac{10-2x}{2}
x | 5 | 5 |
y | 0 | 0 |
在图上画出点 ( 5,\ 0) 和 ( 0,\ 5),并连接它们得到方程 2x+2y=0
从上图可以看出,两条直线重合。
因此,方程组有无限多个解。
这里,a_1=1,\ b_1=-1,\ c_1=8 和 a_2=3,\ b_2=-3,\ c_2=16。
\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{3}
\frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}
\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}
这里,我们发现 \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}
因此,给定的线性方程组无解。
因此,给定的线性方程组不相容。
(iii) 2x+y-6=0
4x-2y-4=0
2x+y=6\ \ ...( i)
4x-2y=4\ \ ...( ii)
对于方程 ( i),
2x+y=6
\Rightarrow y=6-2x
x | 0 | 3 |
y | 6 | 0 |
x | 1 | 0 |
y | 0 | -2 |

这里,a_1=2,\ b_1=-2,\ c_1=-2 和 a_2=4,\ b_2=-4,\ c_2=-5。
\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}
\frac{c_1}{c_2}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}
这里,我们发现 \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}
因此,给定的线性方程组无解。
因此,给定的线性方程组不相容。