用消元法和代入法解下列二元一次方程组
(i) $x + y = 5$ 和 $2x – 3y = 4$
(ii) $3x + 4y = 10$ 和 $2x – 2y = 2$
(iii) $3x – 5y – 4 = 0$ 和 $9x = 2y + 7$
(iv) $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1$ 和 $x – \frac{y}{3} = 3$。

要做的

我们需要用消元法和代入法解给定的二元一次方程组。

解答

(i) 消元法

$x + y = 5$.....(i)

$2x – 3y = 4$.......(ii)

将 (i) 式乘以 2，然后减去 (ii) 式，得到：

$2x+2y=10$

$2x-3y=4$

---------------

$5y=6$

$y=\frac{6}{5}$

将 $y$ 的值代入 (i) 式，得到：

$x+\frac{6}{5}=5$

$x=5-\frac{6}{5}$

$x=\frac{5\times5-6}{5}$

$x=\frac{25-6}{5}$

$x=\frac{19}{5}$

代入法

$x+y=5$

这意味着：

$x=5-y$.....(i)

$2x-3y=4$

$2(5-y)-3y=4$            [由 (i) 式得]

$2(5)-2(y)-3y=4$

$10-2y-3y=4$

$10-4=5y$

$5y=6$

$y=\frac{6}{5}$

因此：

$x=5-\frac{6}{5}$

$x=\frac{5\times5-6}{5}$

$x=\frac{25-6}{5}$

$x=\frac{19}{5}$

$x$ 和 $y$ 的值分别为 $\frac{19}{5}$ 和 $\frac{6}{5}$。

(ii) 消元法

$3x + 4y = 10$.....(i)

$2x – 2y = 2$.......(ii)

将 (ii) 式乘以 2，然后加到 (i) 式上，得到：

$3x+4y=10$

$4x-4y=4$

---------------

$7x=14$

$x=2$

将 $x$ 的值代入 (i) 式，得到：

$3(2)+4y=10$

$4y=10-6$

$y=\frac{4}{4}$

$y=1$

代入法

$3x+4y=10$

这意味着：

$x=\frac{10-4y}{3}$.....(i)

$2x-2y=2$

$2(\frac{10-4y}{3})-2y=2$            [由 (i) 式得]

$\frac{20-8y}{3}-2y=2$

$\frac{20-8y-6y}{3}=2$

$20-14y=2(3)$

$20-14y=6$

$14y=20-6$

$y=\frac{14}{14}$

$y=1$

因此：

$x=\frac{10-4(1)}{3}$

$x=\frac{10-4}{3}$

$x=\frac{6}{3}$

$x=2$

$x$ 和 $y$ 的值分别为 $2$ 和 $1$。

(iii) 消元法

$3x - 5y = 4$.....(i)

$9x – 2y = 7$.......(ii)

将 (i) 式乘以 3，然后减去 (ii) 式，得到：

$9x-15y=12$

$9x-2y=7$

---------------

$-13y=5$

$y=\frac{-5}{13}$

将 $y$ 的值代入 (i) 式，得到：

$3x-5(\frac{-5}{13})=4$

$3x+\frac{25}{13}=4$

$3x=4-\frac{25}{13}$

$3x=\frac{13(4)-25}{13}$

$3x=\frac{52-25}{13}$

$3x=\frac{27}{13}$

$x=\frac{9}{13}$

代入法

$3x-5y=4$

这意味着：

$x=\frac{4+5y}{3}$.....(i)

$9x-2y=7$

$9(\frac{4+5y}{3})-2y=7$            [由 (i) 式得]

$3(4+5y)-2y=7$

$12+15y-2y=7$

$13y=7-12$

$13y=-5$

$y=\frac{-5}{13}$

因此：

$x=\frac{4+5(\frac{-5}{13})}{3}$

$x=\frac{4-\frac{25}{13}}{3}$

$x=\frac{52-25}{13(3)}$

$x=\frac{27}{13(3)}$

$x=\frac{9}{13}$

$x$ 和 $y$ 的值分别为 $\frac{9}{13}$ 和 $\frac{-5}{13}$。

(iv) 消元法

$\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1$

$\frac{3x+2(2y)}{6}=-1$

$3x+4y=-6$.....(i)

$x – \frac{y}{3} = 3$

$\frac{3x-y}{3}=3$

$3x-y=9$.......(ii)

将 (ii) 式从 (i) 式中减去，得到：

$3x+4y=-6$

$3x-y=9$

---------------

$5y=-15$

$y=\frac{-15}{5}$

$y=-3$

将 $y$ 的值代入 (i) 式，得到：

$3x+4(-3)=-6$

$3x-12=-6$

$3x=-6+12$

$3x=6$

$x=\frac{6}{3}$

$x=2$

代入法

$\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1$

$\frac{3x+2(2y)}{6}=-1$

$3x+4y=-6$.....(i)

$x – \frac{y}{3} = 3$

$\frac{3x-y}{3}=3$

$3x-y=9$.......(ii)

这意味着：

由 (i) 式得：

$x=\frac{-6-4y}{3}$.....(iii)

$3x-y=9$

$3(\frac{-6-4y}{3})-y=9$            [由 (iii) 式得]

$-6-4y-y=9$

$5y=-6-9$

$5y=-15$

$y=-3$

因此：

$x=\frac{-6-4(-3)}{3}$

$x=\frac{-6+12}{3}$

$x=\frac{6}{3}$

$x=2$

$x$ 和 $y$ 的值分别为 $2$ 和 $-3$。

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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