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法学求下列各式的积
(i) $(x + 4) (x + 7)$
(ii) $(x - 11) (x + 4)$
(iii) $(x + 7) (x - 5)$
(iv) $(x - 3) (x - 2)$
(v) $(y^2 - 4) (y^2 - 3)$
(vi) $(x + \frac{4}{3}) (x + \frac{3}{4})$
(vii) $(3x + 5) (3x + 11)$
(viii) $(2x^2 - 3) (2x^2 + 5)$
(ix) $(z^2 + 2) (z^2 - 3)$
(x) $(3x - 4y) (2x - 4y)$
(xi) $(3x^2 - 4xy) (3x^2 - 3xy)$
(xii) $(x + \frac{1}{5}) (x + 5)$
(xiii) $(z + \frac{3}{4}) (z + \frac{4}{3})$
(xiv) $(x^2 + 4) (x^2 + 9)$
(xv) $(y^2 + 12) (y^2 + 6)$
(xvi) $(y^2 + \frac{5}{7}) (y^2 - \frac{14}{5})$
(xvii) $(p^2 + 16) (p^2 - \frac{1}{4})$
解题步骤
我们需要求出给定各式的积。
解答
这里，为了求出给定各式的积，我们可以两次使用分配律。
分配律
乘法的分配律指出，当一个因子乘以两项的和或差时，必须将该因子分别乘以这两个数，最后进行加法或减法运算。
$(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)$..............(I)
因此，
(i) 给定的表达式是 $(x + 4) (x + 7)$。
$(x + 4) (x + 7)=x(x+7)+4(x+7)$ [使用 (I)]
$(x + 4) (x + 7)=x(x)+x(7)+4(x)+4(7)$
$(x + 4) (x + 7)=x^2+7x+4x+28$
$(x + 4) (x + 7)=x^2+11x+28$
(ii) 给定的表达式是 $(x - 11) (x + 4)$
$(x - 11) (x + 4)=x(x+4)-11(x+4)$ [使用 (I)]
$(x - 11) (x + 4)=x(x)+x(4)-11(x)-11(4)$
$(x - 11) (x + 4)=x^2+4x-11x-44$
$(x - 11) (x + 4)=x^2-7x-44$
(iii) 给定的表达式是 $(x + 7) (x - 5)$
$(x + 7) (x - 5)=x(x-5)+7(x-5)$ [使用 (I)]
$(x + 7) (x - 5)=x(x)-x(5)+7(x)-7(5)$
$(x + 7) (x - 5)=x^2-5x+7x-35$
$(x + 7) (x - 5)=x^2+2x-35$
(iv) 给定的表达式是 $(x - 3) (x - 2)$
$(x - 3) (x - 2)=x(x-2)-3(x-2)$ [使用 (I)]
$(x - 3) (x - 2)=x(x)-x(2)-3(x)+3(2)$
$(x - 3) (x - 2)=x^2-2x-3x+6$
$(x - 3) (x - 2)=x^2-5x+6$
(v) 给定的表达式是 $(y^2 - 4) (y^2 - 3)$
$(y^2 - 4) (y^2 - 3)=y^2(y^2-3)-4(y^2-3)$ [使用 (I)]
$(y^2 - 4) (y^2 - 3)=y^2(y^2)-y^2(3)-4(y^2)+4(3)$
$(y^2 - 4) (y^2 - 3)=y^4-3y^2-4y^2+12$
$(y^2 - 4) (y^2 - 3)=y^4-7y^2+12$
(vi) 给定的表达式是 $(x+\frac{4}{3})(x + \frac{3}{4})$
$(x+\frac{4}{3})(x + \frac{3}{4})=x (x + \frac{3}{4})+\frac{4}{3}(x + \frac{3}{4})$ [使用 (I)]
$(x+\frac{4}{3})(x+\frac{3}{4})=x(x)+x(\frac{3}{4})+\frac{4}{3}(x)+\frac{3}{4}(\frac{3}{4})$
$(x+\frac{4}{3})(x+\frac{3}{4})=x^2+x(\frac{3}{4}+\frac{4}{3})+1$
$(x+\frac{4}{3})(x+\frac{3}{4})=x^2+x(\frac{3\times3+4\times4}{12})+1$
$(x+\frac{4}{3})(x+\frac{3}{4})=x^2+x(\frac{9+16}{12})+1$
$(x+\frac{4}{3})(x+\frac{3}{4})=x^2+\frac{25}{12}x+1$
(vii) 给定的表达式是 $(3x + 5) (3x + 11)$
$(3x + 5) (3x + 11)=3x(3x+11)+5(3x+11)$ [使用 (I)]
$(3x + 5) (3x + 11)=3x(3x)+3x(11)+5(3x)+5(11)$
$(3x + 5) (3x + 11)=9x^2+33x+15x+55$
$(3x + 5) (3x + 11)=9x^2+48x+55$
(viii) 给定的表达式是 $(2x^2 - 3) (2x^2 + 5)$
$(2x^2 - 3) (2x^2 + 5)=2x^2(2x^2+5)-3(2x^2+5)$ [使用 (I)]
$(2x^2 - 3) (2x^2 + 5)=2x^2(2x^2)+2x^2(5)-3(2x^2)-3(5)$
$(2x^2 - 3) (2x^2 + 5)=4x^4+10x^2-6x^2-15$
$(2x^2 - 3) (2x^2 + 5)=4x^4+4x^2-15$
(ix) 给定的表达式是 $(z^2 + 2) (z^2 - 3)$
$(z^2 + 2) (z^2 - 3)=z^2(z^2-3)+2(z^2-3)$ [使用 (I)]
$(z^2 + 2) (z^2 - 3)=z^2(z^2)-z^2(3)+2(z^2)-2(3)$
$(z^2 + 2) (z^2 - 3)=z^4-3z^2+2z^2-6$
$(z^2 + 2) (z^2 - 3)=z^4-z^2-6$
(x) 给定的表达式是 $(3x - 4y) (2x - 4y)$
$(3x - 4y) (2x - 4y)=3x(2x-4y)-4y(2x-4y)$ [使用 (I)]
$(3x - 4y) (2x - 4y)=3x(2x)-3x(4y)-4y(2x)+4y(4y)$
$(3x - 4y) (2x - 4y)=6x^2-12xy-8xy+16y^2$
$(3x - 4y) (2x - 4y)=6x^2-20xy+16y^2$
(xi) 给定的表达式是 $(3x^2 - 4xy) (3x^2 - 3xy)$
$(3x^2 - 4xy) (3x^2 - 3xy)=3x^2(3x^2-3xy)-4xy(3x^2-3xy)$ [使用 (I)]
$(3x^2 - 4xy) (3x^2 - 3xy)=3x^2(3x^2)-3x^2(3xy)-4xy(3x^2)+4xy(3xy)$
$(3x^2 - 4xy) (3x^2 - 3xy)=9x^4-9x^3y-12x^3y+12x^2y^2$
$(3x^2 - 4xy) (3x^2 - 3xy)=9x^4-21x^3y+12x^2y^2$
(xii) 给定的表达式是 $(x+\frac{1}{5})(x + 5)$
$(x+\frac{1}{5})(x + 5)=x (x + 5)+\frac{1}{5}(x + 5)$ [使用 (I)]
$(x+\frac{1}{5})(x + 5)=x (x) + x(5)+\frac{1}{5}(x) + \frac{1}{5}(5)$
$(x+\frac{1}{5})(x + 5)=x^2 + x(5+\frac{1}{5}) + 1$
$(x+\frac{1}{5})(x + 5)=x^2 + x(\frac{5\times5+1}{5}) + 1$
$(x+\frac{1}{5})(x + 5)=x^2 + x(\frac{25+1}{5}) + 1$
$(x+\frac{1}{5})(x + 5)=x^2 + \frac{26}{5}x + 1$
(xiii) 给定的表达式是 $(z+\frac{3}{4})(z + \frac{4}{3})$
$(z+\frac{3}{4})(z + \frac{4}{3})=z (z + \frac{4}{3})+\frac{3}{4}(z + \frac{4}{3})$ [使用 (I)]
$(z+\frac{3}{4})(z+\frac{4}{3})=z(z)+z(\frac{4}{3})+\frac{3}{4}(z)+\frac{3}{4}(\frac{4}{3})$
$(z+\frac{3}{4})(z+\frac{4}{3})=z^2+z(\frac{4}{3}+\frac{3}{4})+1$
$(z+\frac{3}{4})(z+\frac{4}{3})=z^2+z(\frac{4\times4+3\times3}{12})+1$
$(z+\frac{3}{4})(z+\frac{4}{3})=z^2+z(\frac{16+9}{12})+1$
$(z+\frac{3}{4})(z+\frac{4}{3})=z^2+\frac{25}{12}z+1$
(xiv) 给定的表达式是 $(x^2 + 4) (x^2 + 9)$
$(x^2 + 4) (x^2 + 9)=x^2(x^2+9)+4(x^2+9)$ [使用 (I)]
$(x^2 + 4) (x^2 + 9)=x^2(x^2)+x^2(9)+4(x^2)+4(9)$
$(x^2 + 4) (x^2 + 9)=x^4+9x^2+4x^2+36$
$(x^2 + 4) (x^2 + 9)=x^4+13x^2+36$
(xv) 给定的表达式是 $(y^2 + 12) (y^2 + 6)$
$(y^2 + 12) (y^2 + 6)=y^2(y^2+6)+12(y^2+6)$ [使用 (I)]
$(y^2 + 12) (y^2 + 6)=y^2(y^2)+y^2(6)+12(y^2)+12(6)$
$(y^2 + 12) (y^2 + 6)=y^4+6y^2+12y^2+72$
$(y^2 + 12) (y^2 + 6)=y^4+18y^2+72$
(xvi) 给定的表达式是 $(y^2+\frac{5}{7})(y^2-\frac{14}{5})$
$(y^2+\frac{5}{7})(y^2-\frac{14}{5})=y^2(y^2-\frac{14}{5})+\frac{5}{7}(y^2-\frac{14}{5})$ [使用 (I)]
$(y^2+\frac{5}{7})(y^2-\frac{14}{5})=y^2(y^2)-y^2(\frac{14}{5})+\frac{5}{7}(y^2)-\frac{5}{7}(\frac{14}{5})$
$(y^2+\frac{5}{7})(y^2-\frac{14}{5})=y^4+y^2(\frac{-14}{5}+\frac{5}{7})-2$
$(y^2+\frac{5}{7})(y^2-\frac{14}{5})=y^4+y^2(\frac{-14\times7+5\times5}{35})-2$
$(y^2+\frac{5}{7})(y^2-\frac{14}{5})=y^4+y^2(\frac{-98+25}{35})-2$
$(y^2+\frac{5}{7})(y^2-\frac{14}{5})=y^4-\frac{73}{35}y^2-2$
(xvii) 给定的表达式是 $(p^2 + 16) (p^2 -\frac{1}{4})$
(p² + 16)(p² - ¼) = p²(p² - ¼) + 16(p² - ¼) [根据(I)]
(p² + 16)(p² - ¼) = p²(p²) - p²(¼) + 16(p²) - 16(¼)
(p² + 16)(p² - ¼) = p⁴ + p²(16 - ¼) - 4
(p² + 16)(p² - ¼) = p⁴ + p²((16×4 - 1)/4) - 4
(p² + 16)(p² - ¼) = p⁴ + p²((64 - 1)/4) - 4
(p² + 16)(p² - ¼) = p⁴ + (63/4)p² - 4
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