通过比较系数并找出以下各对线性方程组是相容的还是不相容的。
(i) $3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7$
(ii) $2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9$
(iii) $\frac{3}{2}x + \frac{5}{3}y = 7; 9x – 10y = 14$
(iv) $5x-3y = 11; -10x + 6y = -22$
(v) $\frac{4x}{3} + 2y = 8; 2x + 3y = 12$.

待办事项

我们必须找出给定的线性方程组是相容的还是不相容的。

解答

(i) 给定的方程为：$3x + 2y=5;\ 2x – 3y=7$

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{3}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{5}{7}$

这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$

因此，这些线性方程组仅在一个点上相交，并且它们只有一个可能的解。

因此，这对线性方程组是相容的。

(ii) 给定的方程为：$2x-3y=8;\ 4x-6y=9$

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{9}$

这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$

因此，这些线性方程组彼此平行，因此没有可能的解。

因此，这对线性方程组是不相容的。

(iii) 给定的方程为：$\frac{3x}{2}+\frac{5y}{3}=7;\ 9x-10y=14$.

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\frac{3}{2}}{9}=\frac{1}{6}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{\frac{5}{3}}{-10}=-\frac{1}{6}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$

这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$

因此，这些线性方程组仅在一个点上相交，并且它们只有一个可能的解。

因此，这对线性方程组是相容的。

(iv) 给定的方程为：$5x-3y=11;\ -10x+6y=-22$

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{-10}=-\frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{11}{-22}=-\frac{1}{2}$

这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

因此，这些线性方程组是重合的直线对，因此有无限多个可能的解。

因此，给定的线性方程组是相容的。

(v) 给定的方程为：$\frac{4x}{3}+2y=8;\ 2x+3y=12$

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{2}{3}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

因此，这些线性方程组是重合的直线对，因此有无限多个可能的解。

因此，这对线性方程组是相容的。

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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