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法律研究通过比较系数并找出以下各对线性方程组是相容的还是不相容的。
(i) $3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7$
(ii) $2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9$
(iii) $\frac{3}{2}x + \frac{5}{3}y = 7; 9x – 10y = 14$
(iv) $5x-3y = 11; -10x + 6y = -22$
(v) $\frac{4x}{3} + 2y = 8; 2x + 3y = 12$.
待办事项
我们必须找出给定的线性方程组是相容的还是不相容的。
解答
(i) 给定的方程为：$3x + 2y=5;\ 2x – 3y=7$
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-2}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{5}{7}$
这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$
因此，这些线性方程组仅在一个点上相交，并且它们只有一个可能的解。
因此，这对线性方程组是相容的。
(ii) 给定的方程为：$2x-3y=8;\ 4x-6y=9$
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{9}$
这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}≠\frac{c_1}{c_2}$
因此，这些线性方程组彼此平行，因此没有可能的解。
因此，这对线性方程组是不相容的。
(iii) 给定的方程为：$\frac{3x}{2}+\frac{5y}{3}=7;\ 9x-10y=14$.
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\frac{3}{2}}{9}=\frac{1}{6}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{\frac{5}{3}}{-10}=-\frac{1}{6}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$
这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}≠\frac{b_1}{b_2}$
因此，这些线性方程组仅在一个点上相交，并且它们只有一个可能的解。
因此，这对线性方程组是相容的。
(iv) 给定的方程为：$5x-3y=11;\ -10x+6y=-22$
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{-10}=-\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{11}{-22}=-\frac{1}{2}$
这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
因此，这些线性方程组是重合的直线对，因此有无限多个可能的解。
因此，给定的线性方程组是相容的。
(v) 给定的方程为：$\frac{4x}{3}+2y=8;\ 2x+3y=12$
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{2}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
这里我们发现，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
因此，这些线性方程组是重合的直线对，因此有无限多个可能的解。
因此，这对线性方程组是相容的。
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