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已知：在一个等差数列中，$a = 2, d = 8, S_n = 90$求解：我们需要求出 $n$ 和 $a_n$。解：我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$n$ 项的第 $n$ 项 $a_n=a+(n-1)d$这意味着，$a_n=2+(n-1)8$$=2+8n-8$$=8n-6$........(i)$S_n=\frac{n}{2}[2 \times 2+(n-1)8]$$90=\frac{n}{2}[4+8n-8]$ (根据 (i))$90(2)=n(8n-4)$$180=4n(2n-1)$$n(2n-1)=45$$2n^2-n-45=0$$2n^2-10n+9n-45=0$$2n(n-5)+9(n-5)=0$$(2n+9)(n-5)=0$$n=5$ 或 $2n=-9$，这不可能，因为 $n$ 不能为负数$\therefore n=5$这意味着，$a_n=8(5)-6$$=40-6$$=34$因此，$n=5$ 且 $a_n=34$。 阅读更多
已知：在一个等差数列中，$a = 8, a_n = 62, S_n = 210$求解：我们需要求出 $n$ 和 $d$。解：我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$n$ 项的第 $n$ 项 $a_n=a+(n-1)d$这意味着，$a_n=8+(n-1)d$$62=8+(n-1)d$$62-8=(n-1)d$$54=(n-1)d$$(n-1)d=54$........(i)$S_n=\frac{n}{2}[2 \times 8+(n-1)d]$$210=\frac{n}{2}[16+54]$ (根据 (i))$210(2)=n(70)$$3(2)=n$$n=6$$\therefore (6-1)d=54$$5d=54$$d=\frac{54}{5}$因此，$n=6$ 且 $d=\frac{54}{5}$。
已知：在一个等差数列中，$a_n = 4, d = 2, S_n = -14$求解：我们需要求出 $n$ 和 $a$。解：我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$n$ 项的第 $n$ 项 $a_n=a+(n-1)d$这意味着，$a_n=a+(n-1)2$$4=a+(n-1)2$$4-2n+2=a$$a=6-2n$......(i)$S_n=\frac{n}{2}[2 \times a+(n-1) \times 2]$$-14=\frac{n}{2} \times 2[a+(n-1)]$$-14=n(6-2n+n-1)$$-14=n(5-n)$$-14=5n-n^2$$n^2-5n-14=0$$n^2-7n+2n-14=0$$n(n-7)+2(n-7)=0$$(n-7)(n+2)=0$$n=7$ 或 $n=-2$，这不可能，因为 $n$ 不能为负数$\therefore a=6-2(7)$$=6-14$$=-8$因此，$a=-8$ 且 $n=7$。 阅读更多
已知：在一个等差数列中，$a = 3, n = 8, S = 192$。求解：我们需要求出 $d$。解：我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$S_n=\frac{8}{2}[2 \times 3+(8-1) \times d]$$192=4[6+7d]$$48=(6+7d)$$7d=48-6$$7d=42$$d=\frac{42}{7}$$d=6$因此，$d=6$。
已知：在一个等差数列中，$l = 28, S = 144$，并且共有 9 项。求解：我们需要求出 $a$。解：$a_n=l=28$我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$$S_n=\frac{9}{2}[a+28]$$144(2)=9(a+28)$$16(2)=a+28$$a=32-28$$a=4$因此，$a=4$。
已知：给定的等差数列为 $9, 17, 25, …$ 求解：我们需要求出需要取多少项才能使它们的和为 636。 解：设等差数列的项数为 $n$。首项 $(a)=9$公差 $(d)=17-9=8$前 $n$ 项的和 $=636$我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$\Rightarrow 636=\frac{n}{2}[2 \times 9+(n-1) \times 8]$$1272=n[18+8 n-8]$$1272=n(10+8 n)$$1272=10 n+8 n^{2}$$8 n^{2}+10 n-1272=0$$2(4 n^{2}+5 n-636)=0$$4 n^{2}+5 n-636=0$$4 n^{2}+53 n-48 n-636=0$$n(4 n+53)-12(4 n+53)=0$$(4 n+53)(n-12)=0$$4n+53=0$ 或 $n-12=0$$n=\frac{-53}{4}$，这不可能，或 $n=12$这意味着，$n=12$需要取 12 项。 阅读更多
已知：一个等差数列的首项为 5，末项为 45，和为 400。求解：我们需要求出该等差数列的项数和公差。 解：设给定等差数列的项数为 $n$，首项为 $a$，公差为 $d$。首项 $a=5$末项 $l= 45$所有项的和 $S_{n} =400$我们知道，前 $n$ 项的和$ S_{n} =\frac{n}{2}( a+l)$$\Rightarrow 400=\frac{n}{2}( 5+45)$$\Rightarrow 400=n(25)$$\Rightarrow n=\frac{400}{25} =16$此外，$l=a+( n-1) d$因此，代入 $a$，$l$ 和 $n$ 的值，我们得到，$45=5+( 16-1) d$$\Rightarrow 15d=45-5=40$$\Rightarrow d=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}$因此，项数为... 阅读更多
已知：一个等差数列的首项和末项分别为 17 和 350，公差 $d=9$。求解：我们需要求出该等差数列的项数和项的和。解：设给定等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$，末项为 $l$，项数为 $n$。我们知道，$l=a+( n-1) d$代入 $l=350, \ a=17\ 和\ d=9$，我们得到，$350=17+( n-1)9$$\Rightarrow n-1=\frac{350-17}{9}$$={333}{9}$$=37$这意味着，$n=37+1=38$等差数列中 $n$ 项的和 $S_{n}=\frac{n}{2}(a+l)$$=\frac{38}{2}(17+350)$$=19(367)$$=6973$因此，给定的等差数列有 38 项，其项的和为 6973。 阅读更多
已知：在一个等差数列中，$d = 7$ 且第 22 项为 149。求解：我们需要求出前 22 项的和。解：我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$n$ 项的第 $n$ 项 $a_n=a+(n-1)d$这意味着，$a_{22}=a+(22-1)7$$149=a+21(7)$$149=a+147$$a=149-147$$a=2$$S_{22}=\frac{22}{2}[2 \times (2)+(22-1) \times 7]$$=11[4+21 \times 7]$$=11(4+147)$$=11 \times (151)$$=1661$因此，$S_{22}=1661$。
已知：一个等差数列的第二项为 14，第三项为 18。 求解：我们需要求出该等差数列的前 51 项的和。解： 设该等差数列的首项和公差分别为 $a$ 和 $d$。我们知道，$a_n=a+(n-1)d$这意味着，$a_2=a+(2-1)d$$14=a+d$$a=14-d$.......(i)$a_3=a+(3-1)d$$18=a+2d$$18=14-d+2d$ (根据 (i))$d=18-14$$d=4$因此，$a=14-d$$=14-4$$=10$我们知道，$S_{n}=\frac{n}{2}[2 n+(n-1) d]$$S_{51}=\frac{51}{2}[2 \times(10)+(51-1) \times 4]$$=\frac{51}{2}[20+50 \times 4]$$=\frac{51}{2}(20+200)$$=\frac{51}{2} \times 220$$=51 \times 110$$=5610$该等差数列的前 51 项的和为 $5610$。 阅读更多