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已知：deg $r(x) = 0$需要做：我们需要给出多项式 $p(x), g(x), q(x)$ 和 $r(x)$ 的例子，它们满足除法算法并且 deg $r(x) = 0$解决方案：$p(x), g(x), q(x), r(x)$deg $r(x) = 0$当 $q(x)$ 和 $g(x)$ 的乘积形成一个次数等于 $p(x)$ 次数且为常数项的多项式时，这才是可能的。
需要做：我们需要检查三次多项式旁边给出的数字是否为它们的零点。解决方案：我们知道，三次多项式的标准形式为 $ax^3+bx^2+cx+d$，其中 a、b、c 和 d 为常数，且 $a≠0$。(i) 令 $f(x)=2x^3 + x^2– 5x + 2$将给定多项式与三次多项式的标准形式进行比较，$a=2$，$b=1$，$c=-5$ 和 $d=2$此外，如果 k 是给定多项式 $f(x)$ 的根，则 $f(k)=0$。因此，对于 $x = \frac{1}{2}$$f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 – 5(\frac{1}{2}) + 2$$= 2(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} – 5(\frac{1}{2})+ 2 = 0$$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}+2$$=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}$$=0$$f(\frac{1}{2}) = 0$，这意味着 $x = \frac{1}{2}$ ... 阅读更多
已知：零点之和、零点两两乘积之和以及零点之积分别为 $2$、$-7$ 和 $-14$。需要做：我们需要找到满足给定条件的三次多项式。解决方案：我们知道，三次多项式的标准形式为 $ax^3+bx^2+cx+d$，其中 a、b、c 和 d 为常数，且 $a≠0$。它也可以根据其与零点之间的关系写成如下形式：$f(x) = k[x^3 – (零点之和)x^2 + (零点两两乘积之和)x – (零点之积)]$其中，k 是任何非零实数。这里，$f(x) = ... 阅读更多
已知：多项式 $x^3 - 3x^2 + x + 1$ 的零点为 $a-b, a, a + b$。需要做：我们需要求 $a$ 和 $b$。解决方案：令 $\alpha, \beta$ 和 $\gamma$ 为多项式 $x^3 – 3x^2 + x + 1$ 的零点。这意味着，$\alpha = a-b, \beta = a$ 和 $\gamma = a + b$。因此，零点之和 $= \alpha + \beta + \gamma$ $(a – b) + a + (a + b)=3$$a-b + a + a + b = 3$$3a = 3$$a= 1$........…(i)零点之积 $= \alpha \beta \gamma$$(a – b) a (a + b) = -1$$(a^2 – b^2)a = -1$$a^3 ... 阅读更多
已知：多项式 $x^4 - 6x^3 - 26x^2 + 138x - 35$ 的两个零点为 $2 \pm \sqrt3$。需要做：我们需要求其他零点。解决方案：两个零点为 $2 + \sqrt3$ 和 $2 - \sqrt3$这意味着，$[x-(2 + \sqrt3)] [x- (2 - \sqrt3)] = (x-2- \sqrt3)(x-2 + \sqrt3)$$= (x-2)^2– (\sqrt3)^2$$x^2 – 4x + 1$ 是给定多项式的因式。用 $x^2 – 4x + 1$ 除以给定多项式，得到，$x^2-4x+1$)$x^4-6x^3-26x^2+138x-35$($x^2-2x-35$ $x^4-4x^3+x^2$ ---------------------------------- $-2x^3-27x^2+138x-35$ ... 阅读更多
已知：多项式 $x^4 - 6x^3 + 16x^2 - 25x + 10$ 被另一个多项式 $x^2 - 2x + k$ 除，余数为 $x + a$。需要做：我们需要求 $k$ 和 $a$。解决方案：令 $p(x) = x^4 – 6x^3 + 16x^2 – 25x + 10$余数 $= x + a$....… (i)用给定多项式 $6x^3 + 16x^2 – 25x + 10$ 除以 $x^2 – 2x + k$，得到，$x^2-2x+k$)$x^4-6x^3+16x^2-25x+10$($x^2-4x+8-k$ $x^4-2x^3+kx^2$ ------------------------------ ... 阅读更多
已知：一支板球队的教练购买了 3 支球拍和 6 个球，共计 3900 卢比。后来，她又购买了一支球拍和 3 个相同种类的球，共计 1300 卢比。需要做：我们需要用代数和图形方法表示上述情况。解决方案：设一支球拍和一个球的价格分别为 $x$ 和 $y$。根据题意，$3x + 6y = 3900$.....(i)$x + 3y = 1300$.....(ii)上述情况可以用图形方法绘制如下
需要做：我们需要在每种情况下通过用第一个多项式除以第二个多项式来检查第一个多项式是否是第二个多项式的因式。解决方案：(i) 应用除法算法，令被除数 $f(t)\ =\ 2t^4\ +\ 3t^3\ –\ 2t^2\ –\ 9t\ –\ 12$除数 $g(t)\ =\ t^2\ –\ 3$如果 $g(t)$ 是 $f(t)$ 的因式，则长除法的余数应为 $0$。$t^2-3$)$2t^4+3t^3-2t^2-9t-12$($2t^2+3t+4$ $2t^4 -6t^2$ ------------------------------- $3t^3+4t^2-9t-12$ ... 阅读更多
已知：$x^2 + 3x + 1, 3x^4+5x^3-7x^2+2x + 2$需要做：我们需要通过用第一个多项式除以第二个多项式来检查第一个多项式是否是第二个多项式的因式。解决方案：应用除法算法，令被除数 $f(x)=3x^4+5x^3-7x^2+2x + 2$除数 $g(x) =x^2 + 3x + 1如果 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，则长除法的余数应为 $0$。因此，$g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式。
已知：$p(x) = x^4 - 5x + 6, g(x) = 2 -x^2$需要做：我们需要将多项式 $p(x)$ 除以多项式 $g(x)$ 并找出商和余数。解决方案：$p(x) = x^4 - 5x + 6$ $g(x) = 2 -x^2$因此，商为 $-x^2-2$，余数为 $-5x+10$。