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已知：给定的方程为：x-y+1=0，3x+2y-12=0。要做：我们必须找到由给定的直线和 x 轴形成的三角形的顶点坐标。我们还必须计算由此形成的三角形的面积。解：为了用图形表示上述方程，我们需要每个方程的至少两个解。对于方程 x-y+1=0，y=x+1。如果 x=-1，则 y=-1+1=0。如果 x=2，则 y=2+1=3。x -1 2 y 0 3 对于方程 3x+2y-12=0，2y=12-3x，y=(12-3x)/2。如果 x=4，则 y=(12-3(4))/2=(12-12)/2=0。如果 x=2，则 y=(12-3(2))/2=(12-6)/2=3。x 4 2 y 0 3 x 轴的方程为 y=0。上述情况可以用图形表示如下：线 AB、CD 和 AC 分别表示方程 x-y+1=0、3x+2y-12=0 和 x 轴。正如我们所… 阅读更多
要做：我们必须找出表示给定线性方程对的直线是否相交于一点、平行或重合。解：将给定的线性方程对与线性方程的标准形式 a₁x+b₁y+c₁=0 和 a₂x+b₂y+c₂=0 进行比较，我们得到，a₁=5，b₁=-4 和 c₁=8；a₂=7，b₂=6 和 c₂=-9。这里，a₁/a₂=5/7；b₁/b₂=-4/6=-2/3；c₁/c₂=8/-9；a₁/a₂≠b₁/b₂。因此，两条直线在一点相交。(ii) 将给定的线性方程对与线性方程的标准形式 a₁x+b₁y+c₁=0 和 a₂x+b₂y+c₂=0 进行比较，我们得到，a₁=9，b₁=3 和 c₁=12；a₂=18，b₂=6 和 c₂=24。这里，a₁/a₂=9/18=1/2；b₁/b₂=3/6=1/2；c₁/c₂=12/24=1/2；a₁/a₂=b₁/b₂=c₁/c₂。因此，两条直线相互重合。(iii) 将给定的… 阅读更多
要做：我们必须找出给定的线性方程对是否相容或不相容。解：(i) 给定的方程为：3x + 2y=5；2x – 3y=7。a₁/a₂=3/2；b₁/b₂=-2/3；c₁/c₂=5/7。这里我们发现，a₁/a₂≠b₁/b₂。因此，这些线性方程仅在一个点相交，并且只有一个可能的解。因此，线性方程对是相容的。(ii) 给定的方程为：2x-3y=8；4x-6y=9。a₁/a₂=2/4=1/2；b₁/b₂=-3/-6=1/2；c₁/c₂=8/9。这里我们发现，a₁/a₂=b₁/b₂≠c₁/c₂。因此，这些线性方程彼此平行，因此没有可能的解。因此，线性方程对不相容。(iii) 给定的方程为：(3x/2)+(5y/3)=7；9x-10y=14。a₁/a₂=(3/2)/9=1/6；b₁/b₂=(5/3)/-10=-1/6；c₁/c₂=7/14=1/2。这里我们发现，a₁/a₂≠b₁/b₂。因此，这些线性方程只在… 阅读更多
要做：我们必须找出给定的线性方程对是相容还是不相容，并用图形法求解。解：(i) x+y-5=0；2x+2y-10=0；x+y=5…(i)；2x+2y=10…(ii)。对于方程(i)，x+y=5=>y=5-x。x 0 5 y 5 0 在图上绘制点(0,5)和(5,0)，并连接它们以得到方程x+y=5。对于方程(ii)，2x+2y=10=>y=(10-2x)/2。x 5 5 y 0 0 在图上绘制点(5,0)和(0,5)，并连接它们以得到方程2x+2y=0。从上图可以看出，直线是重合的。因此，方程有无限个可能的解。(ii) 给定的方程：x-y=8；3x-3y=16。这里… 阅读更多
已知：十年级有 10 名学生参加数学竞赛。女生人数比男生人数多 4 人。要做：我们必须建立一对线性方程并用图形法求解。我们还必须找到参加竞赛的男生和女生人数。解：(i) 令班级的女生和男生人数分别为 x 和 y。根据题意，x + y = 10.....(i)；x - y = 4.....(ii)。为了用图形表示上述方程，我们需要每个方程的至少两个解。对于方程 x+y=10，y=10-x。如果 x=5… 阅读更多
已知：x³ – 3x + 1 和 x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1。要做：我们必须通过用第一个多项式除以第二个多项式来检查第一个多项式是否是第二个多项式的因式。解：应用除法算法，令被除数 f(x) = x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1，除数 g(x) = x³ – 3x + 1。如果 g(x) 是 f(x) 的因式，则长除法的余数应为 0。x³-3x+1)x⁵-4x³+x²+3x+1(x²-1 x⁵-3x³+x² ------------------------------- -x³+3x+1 -x³+3x-1 ------------------- 0 因此，g(x) 是 f(x) 的因式。
已知：$3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5$，其中两个零点为$\sqrt{\frac{5}{3}}$和$-\sqrt{\frac{5}{3}}$。求解：我们需要找到其他的零点。解：如果$\sqrt{\frac{5}{3}}$和$-\sqrt{\frac{5}{3}}$是给定多项式的零点，那么$(x+\sqrt{\frac{5}{3}})(x-\sqrt{\frac{5}{3}})$是它的一个因子。这意味着，$(x+\sqrt{\frac{5}{3}})(x-\sqrt{\frac{5}{3}})=x^2-(\sqrt{\frac{5}{3}})^2=x^2-\frac{5}{3}$因此，被除式$f(x)\ =\ 3x^4\ + \ 6x^3\ –\ 2x^2\ -\ 10x\ -\ 5$除数$=x^2-\frac{5}{3}$ $3x^2-5$)$3x^4+6x^3-2x^2-10x-5$($x^2+2x+1$ $3x^4-5x^2$ --------------------- $6x^3+3x^2-10x-5$ $6x^3-10x$ --------------------- ... 阅读更多
已知：$x^3 - 3x^2 + x + 2$被$g(x)$除。商为$x - 2$，余数为$-2x + 4$。求解：我们需要找到$g(x)$。解：设$p(x) = x^3 – 3x^2 + x + 2$商$= x – 2$余数$= -2x + 4$用$g(x)$除$p(x)$，我们有，$p(x) = g(x) \times$商$+$余数$x^3– 3x^2 + x + 2 = g(x) (x – 2) + (-2x + 4)$$x^3 – 3x^2 + x + 2 + 2 x- 4 = g(x) \times (x-2)$$x^3 – 3x^2 + 3x – 2 = g(x) (x – 2)$因此，$g(x)=\frac{x^3 ... 阅读更多
求解：我们需要给出满足除法算法的多项式$p(x), g(x), q(x)$和$r(x)$的例子，并且 (i) deg $p(x) =$ deg $q(x)$(ii) deg $q(x) =$ deg $r(x)$(iii) deg $r(x) = 0$解：(i) $p(x), g(x), q(x), r(x)$deg $p(x) =$ deg $q(x)$$g(x)$和$r(x)$都是常数项。$p(x) = 2x^2+2x + 4$$g(x) = 2$$q(x) = x^2 + x + 2$$r(x) = 0$(ii) $p(x), g(x), q(x), r(x)$deg $q(x) =$ deg $r(x)$当$q(x)$和$r(x)$的次数都小于$p(x)$和$g(x)$时，这是可能的。$p(x) = x^3+ x^2 + x + 1$$g(x) = x^2 - 1$$q(x) = x + 1$$r(x) = ... 阅读更多
已知：deg $q(x) =$ deg $r(x)$求解：我们需要给出满足除法算法的多项式$p(x), g(x), q(x)$和$r(x)$的例子，并且deg $q(x) =$ deg $r(x)$解：$p(x), g(x), q(x), r(x)$deg $q(x) =$ deg $r(x)$当$q(x)$和$r(x)$的次数都小于$p(x)$和$g(x)$时，这是可能的。$p(x) = x^3+ x^2 + x + 1$$g(x) = x^2 - 1$$q(x) = x + 1$$r(x) = x + 2$