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已知：等差数列的第 5 项和第 9 项之和为 30。第 25 项是其第 8 项的三倍。 求解：我们需要求出这个等差数列。解： 设等差数列的首项为 $a$，公差为 $d$。我们知道，第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$第 5 项 $a_5=a+(5-1)d=a+4d$第 9 项 $a_9=a+(9-1)d=a+8d$$a+4d+a+8d=30$ (已知)$2a+12d=30$$2(a+6d)=2(15)$$a+6d=15$$a=15-6d$....(i)第 8 项 $a_8=a+(8-1)d=a+7d$第 25 项 $a_{25}=a+(25-1)d=a+24d$$a+24d=3(a+7d)$ (已知)$a+24d=3a+21d$$3a-a=24d-21d$$2a=3d$$2(15-6d)=3d$ (从 (i) 得)$30-12d=3d$$30=12d+3d$$15d=30$$d=\frac{30}{15}$$d=2$因此，$a=15-6(2)=15-12=3$$a_2=a+d=3+2=5$$a_3=a+2d=3+2(2)=3+4=7$$a_4=a+3d=3+3(2)=3+6=9$所求等差数列为 $3, 5, 7, 9, .....$。阅读更多
已知：连接 $A( 6, \ 3)$ 和 $B( -1, \ -4)$ 的线段，通过在每端加上 $AB$ 的一半来使长度加倍。 求解：求新的端点的坐标。 解：$AB:AC=1:2=m:n$.$A( 6, \ 3)=( \frac{2x1-1}{2+1}, \ \frac{2y1-4}{2+1})$$\Rightarrow ( 6, \ 3)=( \frac{2x_1-1}{3}, \ \frac{2y_1-4}{3})$两边相等， $\Rightarrow \frac{2x_1-1}{3}=6;\ \frac{2y_1-4}{3}=3$$\Rightarrow 2x_1-1=18;\ 2y_1-4=9$$\Rightarrow 2x_1=18+1;\ 2y_1-4=9+4$$\Rightarrow 2x_1=19;\ 2y_1=13$$\Rightarrow x_1=\frac{19}{2};\ y_1=\frac{13}{2}$$AB:BD=2:1$根据公式$( -1, \ -4)=( \frac{2x_2+6}{2+1}, \ \frac{2y_2+3}{2+1}]$$( -1, \ -4)=( \frac{2x_2+6}{3}, \ \frac{2y_2+3}{3})$两边相等。$\Rightarrow \frac{2x_2+6}{3}=-1;\ \frac{2y_2+3}{3}=-4$$\Rightarrow 2x_2+6=-3;\ 2y_2+3=-12$$\Rightarrow 2x_2=-3-6;\ 2y_2=-12-3$$\Rightarrow 2x_2=-9;\ 2y_2=-15$$x_2=-\frac{9}{2};\ y_2=-\frac{15}{2}$因此 $C=( \frac{19}{2}, \ \frac{13}{2})$$D=(-\frac{9}{2}, \ -\frac{15}{2})$ 阅读更多
已知： 点 $( 0,\ 2),\ ( 3,\ 0),\ ( 0,\ -2)$ 和 $( -3,\ 0)$。求解：在图上画出这些点，并连接这些点得到图形的名称。解：给定的点是 $( 0,\ 2),\ ( 3,\ 0),\ ( 0,\ -2)$ 和 $( -3,\ 0)$。这些点在下面的图中绘制出来。通过连接图上绘制的点，我们得到一个四边形。因此，得到的四边形是菱形。
已知：\( x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=62 \)求解：我们需要求出 (a) \( x+\frac{1}{x} \)(b) \( x-\frac{1}{x} \)解：(a) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=62$在两边加上 2，得到，$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=62+2$$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2\times x \times \frac{1}{x}=64$$(x+\frac{1}{x})^2=(8)^2$这意味着，$x+\frac{1}{x}=8$。(b) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=62$在两边减去 2，得到，$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2=62-2$$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\times x \times \frac{1}{x}=60$$(x-\frac{1}{x})^2=(\sqrt{15\times4})^2$$(x-\frac{1}{x})^2=(2\sqrt{15})^2$这意味着，$x-\frac{1}{x}=2\sqrt{15}$。
已知：最大的 8 位数和最小的 6 位数。求解：我们需要求出最大的 8 位数和最小的 6 位数的差。解：最大的 8 位数是 99999999。最小的 6 位数是 100000。最大的 8 位数和最小的 6 位数的差 $= 99999999-100000 = 99899999$。最大的 8 位数和最小的 6 位数的差是 99899999。
已知：等差数列的第 7 项是 32，第 13 项是 62。求解：我们需要求出这个等差数列。解：设等差数列的公差为 $d$，首项为 $a$。我们知道，等差数列的第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$因此，$a_{7}=a+(7-1)d$$32=a+6d$$a=32-6d$......(i)$a_{13}=a+(13-1)d$$62=a+12d$$62=32-6d+12d$ (从 (i) 得)$6d=62-32$$d=\frac{30}{6}$$d=5$......(ii)这意味着，$a_1=a=32-6(5)=32-30=2$$a_{2}=a+(2-1)d=a+d=2+5=7$$a_3=a+(3-1)d=a+2d=2+2(5)=2+10=12$$a_4=a+(4-1)d=a+3d=2+3(5)=2+15=17$因此，所求等差数列为 $2, 7, 12, 17......$ 阅读更多
已知：给定的等差数列是 $3, 10, 17, …$求解：我们需要求出给定等差数列的哪一项比它的第 13 项多 84。解：这里，$a_1=3, a_2=10, a_3=17$公差 $d=a_2-a_1=10-3=7$我们知道，第 n 项 $a_n=a+(n-1)d$因此，$a_{13}=3+(13-1)(7)$$=3+84$$=87$比第 13 项多 84 的项 $=84+87=171$这意味着，$a_{n}=3+(n-1)7$$171=3+7n-7$$7n=171+4$$n=\frac{175}{7}$$n=25$因此，第 25 项比第 13 项多 84。
已知：两个等差数列有相同的公差。它们的第 100 项的差是 100。求解：我们需要求出它们的第 1000 项的差。解：设 $a, a+d, a+2d, ......$ 和 $p, p+d, p+2d, .......$ 为两个等差数列。因此，$a_{100}=a+(100-1)d$$=a+99d$$p_{100}=p+(100-1)d$$=p+99d$根据题意，$a+99d-(p+99d)=100$$a-p=100$.....(i)$a_{1000}=a+(1000-1)d$$=a+999d$$p_{1000}=p+(1000-1)d$$=p+999d$因此，$a_{1000}-p_{1000}=a+999d-(p+999d)$$=a+999d-p-999d$$=a-p$$=100$ (从 (i) 得)它们的第 1000 项的差是 $100$。阅读更多
已知：等差数列 $63, 65, 67,…$ 和 $3, 10, 17, …$ 的第 n 项相等。求解：我们需要求出 $n$ 的值。 解：$A_1 =63, 65, 67, .....$这里，$d=65-63=2$$a_{n_{1}}=a+(n−1)d$$=63+(n−1)2$ $=63+2n−2$$=2n+61$$A_2=3, 10, 17, ......$这里，$d=10-3=7$$a_{n_{2}}=a+(n−1)d$$=3+(n−1)7$ $=3+7n−7$$=7n-4$$a_{n_{1}}=a_{n_{2}}$ (已知) $\Rightarrow 2n+61=7n-4$$\Rightarrow 7n−2n=61+4$$\Rightarrow 5n=65$$\Rightarrow n=\frac{65}{5}$$\Rightarrow n=13$n 的值为 13。
求解：我们需要求出能被 7 整除的三位数的个数。解：设 n 为能被 7 整除的项数。设 a 为首项，d 为公差。7 的倍数为 $7, 14, ....., 98, 105, ....., 994, 1001, ......$第一个能被 7 整除的三位数是 105。这意味着，$a = 105, d = 7$，最后一项 $a_n = 994$$a_n = a + (n – 1) d$$994 = 105 + (n – 1) \times 7$$994- 105 = 7n – 7$$7n = 889 +7$$7n = 896$$n=\frac{896}{7}$$n=128$因此，有 128 个三位数能被 7 整除。