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更新于 2022年10月10日 10:41:39

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已知：点 A(2, -1)、B(3, 4)、C(-2, 3) 和 D(-3, -2)。
要证明：证明给定的点是菱形的顶点。
解：
AB = √[(3-2)² + (4+1)²] = √(1+25) = √26
BC = √[(-2-3)² + (3-4)²] = √(25+1) = √26
CD = √[(-3+2)² + (-2-3)²] = √(1+25) = √26
AD = √[(-3-2)² + (-2+1)²] = √(25+1) = √26
AC = √[(-2-2)² + (3+1)²] = √(16+16) = √32
BD = √[(-3-3)² + (-2-4)²] = √(36+36) = √72
这里，我们发现边 AB=BC=CD=AD，但对角线 AC 和 BD 不相等。
因此，这是一个菱形。

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已知：点 P(2, -3) 和 Q(10, y) 之间的距离为 10 个单位。
求解：y 的值。
解：
已知，点 P(2, -3) 和 Q(10, y) 之间的距离为 10 个单位。
两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之间的距离 = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
⇒ √[(10-2)² + (y-(-3))²] = 10
⇒ √[8² + (y+3)²] = 10
⇒ (y+3)² = 100-64
⇒ (y+3)² = 36
⇒ y+3 = ±6
如果 y+3=6 ⇒ y=6-3=3
如果 y+3=-6 ⇒ y=-6-3=-9
⇒ y=3 或 y=-9
因此，当 y=3 或 y=-9 时，点 P(2, -3) 和 Q(10, y) 之间的距离为 10 个单位。阅读更多

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已知：给出点 (5, -2)、(6, 4) 和 (7, -2)。
要检查：检查给定的点是否是等腰三角形的顶点。
解：
设△ABC 是顶点为 A(5, -2)、B(6, 4) 和 C(7, -2) 的等腰三角形。
使用距离公式，
AB = √[(6-5)² + (4-(-2))²] = √(1+36) = √37
BC = √[(7-6)² + (-2-4)²] = √(1+36) = √37
AC = √[(7-5)² + (-2-(-2))²] = √25 = 5
由于 AB=BC=√37
因此，(5, -2)、(6, 4) 和 (7, -2) 是等腰三角形的顶点。

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已知：点 (6, -8)。
求解：点 (6, -8) 到原点的距离。
解：
已知，x₁=0，y₁=0，x₂=6，y₂=-8
因此，点 (6, -8) 到原点的距离 = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
= √[(6-0)² + (-8-0)²]
= √(36+64)
= √100
= 10 个单位
因此，该点到原点的距离为 10 个单位。

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求解：
我们要求出所有能被 9 整除的三位自然数的个数。
解：
设 n 为能被 9 整除的三位自然数的个数。
设 a 为首项，d 为公差。
9 的倍数为 9, 18, ....., 99, 108, ....., 999, 1008, ......
第一个能被 9 整除的三位数是 108。
这意味着，a = 108，d = 9，最后一项 an = 999
an = a + (n – 1) d
999 = 108 + (n – 1) × 9
999- 108 = 9n – 9
9n = 891 +9
9n = 900
n = 900/9
n = 100
因此，有 100 个三位自然数能被 9 整除。 

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已知：等差数列的第 19 项等于其第 6 项的三倍。第 9 项 = 19
求解：该等差数列。
解：
设所需的等差数列为 a, a+d, a+2d, ......
这里，a₁=a，a₂=a+d，公差 = a₂-a₁=a+d-a=d
我们知道，an=a+(n-1)d
因此，a₉=a+(9-1)d
19=a+8d
a=19-8d.....(i)
a₁₉=a+(19-1)d
=a+18d
a₆=a+(6-1)d
=a+5d
根据题意，a₁₉=3×a₆
a+18d=3(a+5d)
a+18d=3a+15d
3a-a=18d-15d
2a=3d
2(19-8d)=3d (由 (i) 得)
38-16d=3d
16d+3d=38
19d=38
d=2
这意味着，a=19-8(2)
=19-16
=3
因此，a₁=3
a₂=a+d=3+2=5
a₃=a+2d=3+2(2)=3+4=7
a₄=a+3d=3+3(2)=3+6=9
因此，所需的等差数列为 3, 5, 7, 9, ......阅读更多

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已知：等差数列的第 9 项等于其第 2 项的 6 倍。第 5 项 = 22
求解：该等差数列。
解：
设所需的等差数列为 a, a+d, a+2d, ......
这里，a₁=a，a₂=a+d，公差 = a₂-a₁=a+d-a=d
我们知道，an=a+(n-1)d
因此，a₅=a+(5-1)d
22=a+4d
a=22-4d.....(i)
a₉=a+(9-1)d
=a+8d
a₂=a+(2-1)d
=a+d
根据题意，a₉=6×a₂
a+8d=6(a+d)
a+8d=6a+6d
6a-a=8d-6d
5a=2d
5(22-4d)=2d (由 (i) 得)
110-20d=2d
20d+2d=110
22d=110
d=110/22=5
这意味着，a=22-4(5)
=22-20
=2
因此，a₁=2
a₂=a+d=2+5=7
a₃=a+2d=2+2(5)=2+10=12
a₄=a+3d=2+3(5)=2+15=17
因此，所需的等差数列为 2, 7, 12, 17, ...... 阅读更多

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已知：等差数列的第 24 项是其第 10 项的两倍。
证明：其第 72 项是其第 15 项的 4 倍。
解：
设所需的等差数列为 a, a+d, a+2d, ......
这里，a₁=a，a₂=a+d，公差 = a₂-a₁=a+d-a=d
我们知道，an=a+(n-1)d
因此，a₂₄=a+(24-1)d
=a+23d.....(i)
a₁₀=a+(10-1)d
=a+9d....(ii)
根据题意，a₂₄=2×a₁₀
a+23d=2(a+9d) (由 (i) 和 (ii) 得)
a+23d=2a+18d
2a-a=23d-18d
a=5d.....(iii)
这意味着，第 15 项 a₁₅=a+(15-1)d
=a+14d
=5d+14d (由 (iii) 得)
=19d.....(iv)
第 72 项 a₇₂=a+(72-1)d
=a+71d
=5d+71d (由 (iii) 得)
=76d
=4(19d)
=4×a₁₅ (由 (iv) 得)
因此，第 72 项是第 15 项的 4 倍。
证毕。 阅读更多

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已知：101 和 999 之间的数。
求解：求 101 和 999 之间能被 2 和 5 都整除的自然数的个数。
解：
能被 2 和 5 整除的数是 2 和 5 的最小公倍数的倍数。
2 和 5 的最小公倍数 = 2×5=10
能被 10 整除的数是 10, 20,....., 100, 110,....., 990, 1000,......
101 和 999 之间能被 2 和 5 整除的数是 110, 120, ......990
这里，
首项 a=110
公差 d=10
最后一项 an=990
我们知道，
an=a+(n-1)d
990=110+(n-1)10
990-110=(n-1)10
880=(n-1)10
88=n-1
n=88+1
n=89
因此，101 和 999 之间能被 2 和 5 都整除的自然数的个数是 89。

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已知：等差数列（AP）的第七项是$\frac{1}{9}$，第九项是$\frac{1}{7}$。 求解：求该等差数列的第63项。