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已知: $25x^2 + 30x + 9$。任务：求解 $25x^2 + 30x + 9$。解答：$25x^2 + 30x + 9 = 25x^2+15x+15x+9 = 5x( 5x+3)+3( 5x+3) = ( 5x+3)( 5x+3)$
已知：表达式：$a^2-b^2+c^2-d^2-2( ac-bd)$。任务：因式分解 $a^2-b^2+c^2-d^2-2( ac-bd)$。解答：$a^2-b^2+c^2-d^2-2( ac-bd) = a^2-b^2+c^2-d^2-2ac-2bd = ( a^2+c^2-2ac)-( b^2+d^2-2bd) = ( a-c)^2-( b-d)^2 = ( a-c+b-d)\times( a-c-b +d)$ $[ \because a^2-b^2=(a+b)(a-b)] = ( a+b-c-d)\times( a-b-c+d)$
已知：二次方程：$x^2-6x+1=0$。任务：求 $x^2+\frac{1}{x^2}$ 的值。解答：由已知 $x^2-6x+1=0 \Rightarrow x^2=6x-1$ ....... $( i)$ 将此值代入 $x^2+\frac{1}{x^2} = ( 6x-1)+\frac{1}{( 6x-1)} = \frac{( 6x-1)^2+1}{( 6x-1)} = \frac{36x^2-12x+1+1}{( 6x-1)} = \frac{36x^2-12x+2}{6x-1} = \frac{36x^2}{( 6x-1)}-\frac{2( 6x-1)}{( 6x-1)} = \frac{36( 6x-1)}{( 6x-1)}-\frac{( 6x-1)}{( 6x-1)} = 36-2 = 34$ 因此，$x^2+\frac{1}{x^2}=34$。
已知：多项式：$a^2 - 4b^2+ a^3 - 8b^3-(a-2b) ^2$。任务：因式分解：$a^2 - 4b^2+ a^3 - 8b^3-(a-2b) ^2$。解答：$a^2 - 4b^2+ a^3 - 8b^3-(a-2b) ^2 = a^2 - 4b^2+ a^3 - 8b^3-a^2-4b^2+4ab = a^3-8b^2-8b^3+4ab = a^3-(2b)^3+4ab-8b^2 = ( a-2b)( a^2+2ab+4b^2)+4b( a-2b) = ( a-2b)( a^2+2ab+4b^2+4b)$
已知：多项式：$(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2$。任务：因式分解 $(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2$。解答：$(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2 = (a^2-b^2-c^2)^2-(2bc)^2 = (a^2-b^2-c^2-2bc)(a^2-b^2-c^2+2bc) = (a^2-(b^2+c^2+2bc))(a^2-( b^2-2bc+c^2)) = (a^2-(b+c)^2)(a^2-(b-c)^2) = [(a-(b+c))(a+(b+c))][(a-(b-c))(a+(b-c))] = (a-b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$
已知：多项式：$4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2$。任务：检查多项式 $4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2$ 的因式之和是否等于 $2(a+b+c)$。解答：$4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2 = ( 2bc)^2-( b^2+c^2-a^2)^2 = ( 2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2) = ( ( b+c)^2-a^2)( a^2-( b-c)^2) = ( b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)$ 因此，$( b+c-a), \ (b+c+a), \ (a-b+c), \ (a+b-c)$ 是 $4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2$ 的因式。因式之和 $= ( b+c-a)+(b+c+a)+(a-b+c)+(a+b-c) = b+c-a+b+c+a+a-b+c+a+b-c = 2a+2b+2c = 2( a+b+c)$ 因此，多项式 $4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2$ 的因式之和等于 $2(a+b+c)$ 是正确的。阅读更多
已知：$(x+1) (x+2) (x+3) (x+6) - 3x^2$。任务：因式分解给定的多项式。解答：$= ( x+1)( x+2)( x+3)( x+6)-3x^2 = ( x+1)( x+6)( x+3)( x+2)-3x^2 = ( x^2+6x+1x+6)( x^2+3x+2x+6)-3x^2 = ( x^2+6x+6+1x)( x^2+5x+6+x-x)-3x^2 = ( x^2+6x+6+1x)( x^2+5x+x+6-x)-3x^2 = ( x^2+6x+6+1x)( x^2+6x+6-x)-3x^2 = ( x^2+6x+6)^2( +1x)(-x)-3x^2 = ( x^2+6x+6)^2-x^2-3x^2 = ( x^2+6x+6)^2-4x^2 = ( x^2+6x+6)^2-( 2x)^2 = ( x^2+6x+6+2x)( x^2+6x+6-2x)$ [应用 $a^2-b^2=( a+b)( a-b)$] $= ( x^2+8x+6)( x^2+6x-2x+6) = ( x^2+8x+6)( x^2+4x+6) =x(x+8+\frac{6}{x})x(x+4+\frac{6}{x}) =x^2( x+8+\frac{6}{x})( x+4+\frac{6}{x})$阅读更多
已知：$35x^2+12x+1=0$ 任务：因式分解给定方程。解答：$35x^2+12x+1=0$ 使用拆分中间项的方法 $\Rightarrow 35x^2+7x+5x+1=0 \Rightarrow 7x( 5x+1)+1( 5x+1)=0 \Rightarrow ( 7x+1)( 5x+1)=0$ 由于 $( 7x+1)$ 和 $( 5x+1)$ 是方程的因式 $\therefore ( 7x+1)=0$ 和 $( 5x+1)=0$ 如果 $7x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{7}$ 如果 $5x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{5}$
已知：表达式 $x^3 – 4x^2 + 19 = 6 (x – 1)$。任务：求 $x^2 + (\frac{1}{x} – 4)$ 的值。解答：让我们来解这个方程：$x^3-4x^2+19=6(x-1)\ ……( i)$ 所以我们必须找到 $x^2+\frac{1}{( x-4)}$ 的值。从方程 $( i)$，我们可以说，$x^3-4x^2+19=6( x-1) \Rightarrow x^2(x-4)=6x-6-19 \Rightarrow x^2 (x-4)=6(x-4)-1 \Rightarrow x^2=\frac{6( x-4)-1}{( x-4)}$ [两边除以 $( x-4)$] $\Rightarrow x^2=6-\frac{1}{x-4} \Rightarrow x^2+\frac{1}{( x-4)}=6$
已知：方程：$x^2 – 16x – 59 = 0$。任务：求 $(x – 6)^2+[\frac{1}{(x – 6)^2}]$ 的值。解答：设 $(x-6)=t \Rightarrow x=t+6\ \ ........( 1)$ $x^2-16x+59=0$ 将方程 $( 1)$ 中的 $x$ 值代入 $\Rightarrow (t+6)^2-16(t+6)+59=0 \Rightarrow t^2+36+12t-16t-96+59=0 \Rightarrow t^2-4t-1=0$ 将上述方程除以 $t$，$\Rightarrow t-4-\frac{1}{t}=0 \Rightarrow t-\frac{1}{t}=4$ 将上述方程平方，$\Rightarrow (t-\frac{1}{t})^2=4^2 \Rightarrow t^2+\frac{1}{t^2}-2=16 \Rightarrow t^2+\frac{1}{t}^2=18 \therefore (x-6)^2+[\frac{1}{(x-6)^2}]=18$。