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针孔相机形成倒立的图像，是因为来自物体顶部和底部的光线在针孔处相交，物体的顶部变成了底部，物体的底部变成了顶部，在投影过程中。因此，由于光的直线传播（光沿直线传播）穿过针孔相机的孔，我们在针孔相机中得到一个倒立的图像。不仅针孔相机产生倒置或倒立的图像，所有相机都产生倒置的图像。在任何普通相机（如 DSLR）中我们都看不到它，… 阅读更多
已知：表达式：$x^3 – 4x^2 + 19 = 6 (x – 1)$。要求：求 $[x^2+(\frac{1}{( x-4)}]$ 的值。解：已知表达式：$x^3-4x^2+19=6( x-1)$$\Rightarrow x^3-4x^2+1+18=6x-6$$\Rightarrow x^3-4x^2+1=6x-24$$\Rightarrow x^3-4x^2+1=6(x-4)$ ...... $( i)$$x^2+\frac{1}{( x-4)}=\frac{x^2( x-4)+1}{( x-4)}=\frac{( x^3-4x^2+1)}{( x-4)}$从等式 $( i)$$\frac{( x^3-4x^2+1)}{( x-4)}=\frac{6( x-4)}{( x-4)}=6$ $\therefore x^2+\frac{1}{( x-4)}=6$
已知：$x^2 – 12 x + 33 = 0$。要求：求 $(x – 4) ^2 + ( \frac{1}{(x – 4)})^2$ 的值。解：令 $x=t+4$ $\Rightarrow (t+4)^2–12(t+4)+33=0$ $\Rightarrow t^2–8t+16–12t−48+33=0$ $\Rightarrow t^2–4t+1=0$ $\Rightarrow t+\frac{1}{t}=4$ 两边平方，$t^2+2\times t\times\frac{1}{t}+\frac{1}{t^2}=16$ $\Rightarrow t^2+\frac{1}{t^2}+2=16$$\Rightarrow t^2+\frac{1}{t^2}=16-2=14$将 $t=x-4$ 代入，得到$(x−4)^2+\frac{1}{(x−4)^2}=14$
已知：$a^{3} – b^{3} + 1 +3ab$。要求：分解因式：$a^{3} – b^{3} + 1 +3ab$。解：$a^{3} – b^{3} + 1 +3ab$$=(a)^3+(-b)^3+1+3\times a\times b\times 1$应用 [$x^3+y^3+z^3=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$]$=( a+( -b)+1)( a^2+(-b)^2+1^2-a( -b)-( -b)(1)-1(a))$$=( a-b+1)( a^2+b^2+1+ab+b-a)$ 因此，$a^{3} – b^{3} + 1 +3ab=( a-b+1)( a^2+b^2+1+ab+b-a)$。
已知：$(x+1)^\frac{1}{2} - (x-1)^\frac{1}{2} = (4x-1)^\frac{1}{2}$。要求：求 $x$ 的值。解： $(x+1)^\frac{1}{2} - (x-1)^\frac{1}{2} = (4x-1)^\frac{1}{2}$$\Rightarrow ( ( x+1)^\frac{1}{2} - ( x-1)^\frac{1}{2})^2 = ( ( 4x-1)^\frac{1}{2})^2$ [两边平方]$\Rightarrow ( (x+1)^\frac{1}{2})^2 -2(x+1)^\frac{1}{2}(x-1)^\frac{1}{2}+( (x-1)^\frac{1}{2})^2 = ( (4x-1)^\frac{1}{2})^2$$\Rightarrow x+1-2\sqrt{ x+1}\sqrt{ x-1}+x-1=4x-1$$\Rightarrow -2\sqrt{ x+1}\sqrt{ x-1}=4x-1-2x$$\Rightarrow -2\sqrt{ x+1}\sqrt{ x-1}=2x-1$再次两边平方， $( -2\sqrt{ x+1}\sqrt{ x-1})^2=( 2x-1)^2$$\Rightarrow 4(x+1)(x-1)=4x^2-4x+1$$\Rightarrow 4( x^2-1)=4x^2-4x+1$$\Rightarrow 4x^2-4=4x^2-4x+1$$\Rightarrow -4=-4x+1$$\Rightarrow -4+4x-1=0$$\Rightarrow 4x-5=0$$\Rightarrow 4x=5$$\Rightarrow x=\frac{5}{4}$因此，$x=\frac{5}{4}$。阅读更多
已知：方程 $\frac{2}{(x-3)} + \frac{1}{x} = \frac{(x-1)}{(x-3)}$。 要求：解 $\frac{2}{(x-3)} + \frac{1}{x} = \frac{(x-1)}{(x-3)}$。解：已知方程： $\frac{2}{(x-3)} + \frac{1}{x} = \frac{(x-1)}{(x-3)}$$\Rightarrow \frac{2x+x-3}{x( x-3)}=\frac{(x-1)}{(x-3)}$$\Rightarrow \frac{3x-3}{x}=x-1$$\Rightarrow \frac{3( x-1)}{x}=( x-1)$$\Rightarrow \frac{1}{x}=1$$\Rightarrow x=1$因此，$x=1$。
已知： $(x-1) (x-2) (x+3) (x+4) +6=0$。要求：解该方程。解：$(x−1)(x−2)(x+3)(x+4)+6=0$ $\Rightarrow (x−1)(x+3)(x−2)(x+4)+6=0$$\Rightarrow (x^2+2x−3)(x^2+2x−8)+6=0$令 $y=x^2+2x$$( x^2+2x−3)( x^2+2x−8)+6=0$$\Rightarrow( y−3)( y−8)+6=0$$\Rightarrow y^2−11y+24+6=0$$\Rightarrow y^2−11y+30=0$$\Rightarrow ( y−6)( y−5)=0$$\Rightarrow y=6$ 或 $y=5$如果 $y=6$$\Rightarrow x^2+2x=6$$\Rightarrow x^2+2x−6=0$$\Rightarrow x=\frac{−2\pm \sqrt{4+24}}{2}=\frac{−2\pm2\sqrt{7}}{2}$$\Rightarrow x=−1\pm\sqrt{7}$如果 $y=5$$\Rightarrow x^2+2x=5$$\Rightarrow x^2+2x−5=0$$\Rightarrow x=\frac{−2 \pm \sqrt{4+20}}{2}=\frac{−2\pm2\sqrt{6}}{2}$$\Rightarrow x=−1\pm\sqrt{6}$$\therefore x=−1\pm\sqrt{7}, \ x=−1\pm\sqrt{6}$ 是该方程的根。 阅读更多
已知：方程：$3( x+2)-2( x-1)=7$。要求：解 $3( x+2)-2( x-1)=7$。解：如题所示，$3( x+2)-2(x-1)=7$$\Rightarrow 3x+6-2x+2=7$$\Rightarrow x+8=7$$\Rightarrow x=7-8$$\Rightarrow x=-1$ 因此，$x=-1$。
要求：求 $\frac{4a^2-9b^2}{2a+3b}$ 的值。解： $\frac{4a^2-9b^2}{2a+3b}$$=\frac{( 2a)^2-( 3b)^2}{2a+3b}$$=\frac{( 2a-3b)( 2a+3b)}{2a+3b}$$=2a-3b$
已知：$ab=100$ 且 $a+b=25$。要求：求 $a^2+b^2$ 的值。解：如题所示，$ab=100$ 且 $a+b=25$。$\because ( a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$\Rightarrow a^2+b^2=( a+b)^2-2ab$$\Rightarrow a^2+b^2=25^2+2\times100$$\Rightarrow a^2+b^2=625-200$$\Rightarrow a^2+b^2=525$因此，$a^2+b^2=525$。