如果 $x^2 – 12 x + 33 = 0$，那么 $(x – 4) ^2 + ( \frac{1}{(x – 4)})^2$ 的值为多少？

已知：$x^2 – 12 x + 33 = 0$。

要求：求 $(x – 4) ^2 + ( \frac{1}{(x – 4)})^2$ 的值。

解答

令  $x=t+4$ 

$\Rightarrow (t+4)^2–12(t+4)+33=0$ 

$\Rightarrow t^2–8t+16–12t−48+33=0$ 

$\Rightarrow t^2–4t+1=0$ 

$\Rightarrow t+\frac{1}{t}=4$ 

两边平方，

$t^2+2\times t\times\frac{1}{t}+\frac{1}{t^2}=16$ 

$\Rightarrow t^2+\frac{1}{t^2}+2=16$

$\Rightarrow t^2+\frac{1}{t^2}=16-2=14$

将 $t=x-4$ 代入，得到

$(x−4)^2+\frac{1}{(x−4)^2}=14$ 
 

更新于： 2022年10月10日

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