傅里叶级数只能用于分析周期信号，而傅里叶变换可用于分析周期和非周期函数。因此，傅里叶变换可用作分析整个区间内周期和非周期信号的通用数学工具。周期信号的傅里叶变换可以使用冲激函数的概念来求解。现在，考虑一个周期为 $\mathit{T}$ 的周期信号 $\mathit{x\left(t\right )}$。则，$\mathit{x\left(t\right )}$ 用指数傅里叶级数表示的表达式为： $$\mathrm{\mathit{x\left(t\right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } C_{n}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}t}}}$$ 其中 $\mathit{C_{n}}$ 为 ... 阅读更多

线性时不变系统对于叠加原理和齐次性原理有效的系统，并且其输入/输出特性不随时间变化，称为线性时不变 (LTI) 系统。LTI 系统的冲激响应当冲激信号施加到线性系统时，系统的响应称为冲激响应。系统的冲激响应对于理解系统行为非常重要。因此，如果 $$\mathrm{\mathit{\mathrm{输入}, x\left(t\right)=\delta\left(t\right)}}$$ 则， $$\mathrm{\mathit{\mathrm{输出}, y\left(t\right)=h\left(t\right)}}$$ 由于冲激函数的拉普拉斯变换和傅里叶变换分别为： $$\mathrm{\mathit{L\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}\:\:\mathrm{and} \:\:F\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$ 因此，一旦 ... 阅读更多

连续时间 LTI 系统的传递函数可以使用拉普拉斯变换或傅里叶变换来定义。此外，LTI 系统的传递函数只能在零初始条件下定义。连续时间 LTI 系统的框图如下所示。频域中 LTI 系统的传递函数LTI 系统的传递函数 𝐻(𝜔) 可以通过以下方式之一定义：LTI 系统的传递函数定义为输出信号的傅里叶变换与输入信号的傅里叶变换之比，前提是 ... 阅读更多

因果性条件因果系统是在输入施加之前不产生输出的系统。因此，对于 LTI（线性时不变）系统而言，要使其因果，系统的冲激响应必须在 t 小于零时为零，即： $$\mathrm{\mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}\mathrm{0};\; \; \mathrm{for}\: \: t< 0}}$$ 术语物理实现表示可以实时构建该系统。物理可实现的系统在输入施加之前不能产生输出。这称为系统的因果性条件。因此， ... 阅读更多

傅里叶变换对于连续时间函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$，$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt }}$$ 逆傅里叶变换定义为： $$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega }}$$ 傅里叶变换的帕塞瓦尔定理陈述 - 帕塞瓦尔定理指出信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的能量 [如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是非周期的] 或信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的功率 [如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ ... 阅读更多

无失真传输当信号通过系统传输并且信号的形状发生变化时，称为失真。如果系统的输出是输入信号的精确复制，则信号通过系统的传输称为无失真传输。线性相位系统为了实现通过系统的无失真传输，不应该有任何相位失真，即系统的相位应该是线性的。对于线性相位系统，系统的冲激响应关于延迟时间 $\mathit{(t_{d})}$ 对称。证明对于线性相位系统，我们有：$$\mathrm{ \mathit{H\left ... 阅读更多

对于连续时间函数 $\mathit{x(t)}$，$\mathit{x(t)}$ 的傅里叶变换可以定义为 $$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}}$$ 逆傅里叶变换定义为： $$\mathrm{\mathit{F^{\mathrm{-1}}\left [ X\left ( \omega \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}x\left ( t \right )\mathrm{\mathrm{=}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega }}$$ 傅里叶变换的乘积特性陈述 - 连续时间傅里叶变换 (CTFT) 的乘积特性指出，时域中两个函数的乘积等效于其频谱在频域中的卷积。乘积特性也称为傅里叶变换的频率卷积定理。 ... 阅读更多

对于连续时间函数 $\mathit{x(t)}$，$\mathit{x(t)}$ 的傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{\mathit{X\left(\omega\right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty} x\left(t\right)\:e^{-j\omega t}\:dt} }$$ 高斯信号的傅里叶变换高斯函数 - 高斯函数定义为： $$\mathrm{\mathit{g_{a}\left(t\right)\mathrm{=} e^{-at^{\mathrm{2}}} ;\:\:\mathrm{for\:all} \:t} }$$ 因此，根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{\mathit{X\left(\omega\right)\mathrm{=} F\left [e^{-at^\mathrm{2}} \right ]=\int_{-\infty }^{\infty}e^{-at^\mathrm{2}} \:e^{-j\omega t} \:dt}}$$ $$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X\left(\omega\right) \mathrm{=}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(at^\mathrm{2}+j\omega t\right) }\:dt \mathrm{=}e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\left [{-t\sqrt{a}+(j\omega/\mathrm{2}\sqrt{a})}\right]^{2}}}dt }$$ 令， $$\mathrm{\mathit{\left [t\sqrt{a}+(j\omega /\mathrm{2}\sqrt{a})\right ]\mathrm{=} u}}$$ 则， $$\mathrm{\mathit{du\mathrm{=} \sqrt{a} \:dt\:\mathrm{and}\: \:dt\mathrm{=} \frac{du}{\sqrt{a}}}}$$ $$\mathrm{\mathit{\therefore X\left(\omega\right)\mathrm{=}e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}\int_{-\infty }^{\infty} \frac{e^{-u^{\mathrm{2}}}}{\sqrt{a}}\:du\:\mathrm{=} \frac{e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}}{\sqrt{a}}\int_{-\infty }^{\infty}e^{-u^{\mathrm{2}}} \:du}}$$ $$\mathrm{\mathit{\because\int_{-\infty }^{\infty}e^{-u^{\mathrm{2}}} \:du\mathrm{=} \sqrt{\pi}}}$$ $$\mathrm{\mathit{\therefore X\left(\omega\right)\mathrm{=}\frac{e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)}}{\sqrt{a}}\cdot \sqrt{\pi}\mathrm{=} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-\left(\omega^\mathrm{2}/\mathrm{4}a\right)} } }$$ 因此，高斯函数的傅里叶变换为：$$\mathrm{\mathit{F\left [e^{-at^{\mathrm{2}}}\right ] \mathrm{=}\sqrt{\frac{\pi}{a}} ... 阅读更多

功率谱密度信号在频域中平均功率的分布称为功率谱密度 (PSD) 或功率密度 (PD) 或功率密度谱。功率谱密度用 $\mathit{S\left (\omega \right )}$ 表示，由下式给出： $$\mathrm{\mathit{S\left (\omega \right )\mathrm{=}\lim_{\tau \rightarrow \infty }\frac{\left | X\left (\omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}}{\tau }}}$$ 自相关自相关函数给出了信号与其时间延迟版本之间相似性的度量。功率（或周期）信号 $\mathit{x\left ( t \right ) }$ 的自相关函数，其周期为 T，由下式给出： $$\mathrm{\mathit{R\left(\tau \right)=\lim_{T\rightarrow \infty }\mathrm{\frac{1}{\mathit{T}}}\int_{-\left(T/\mathrm{2}\right)}^{T/\mathrm{2}}x\left(t\right)\:x^{*}\left(t-\tau \right)\:dt}}$$ 其中， ... 阅读更多

什么是滤波器？滤波器是一种频率选择性网络，即它允许某些频率的信号无衰减或以非常小的衰减传输，并抑制所有其他频率分量。什么是理想滤波器？理想滤波器是一种频率选择性网络，它具有非常锐利的截止特性，即它精确地传输某些指定频带的信号，并完全抑制该频带之外的频率信号。因此，理想滤波器的相位谱是线性的。理想滤波器特性基于频率响应特性，理想滤波器可以分为以下类型：理想 ... 阅读更多