希尔伯特变换 当信号所有正频率谱分量的相角移位(-90°)，所有负频率谱分量的相角移位(+90°)时，得到的时域函数称为该信号的希尔伯特变换。信号$\mathit{x\left(t\right)}$的希尔伯特变换通过$\mathit{x\left(t\right)}$与(1/πt)的卷积得到，即， $$\mathrm{\mathit{\hat{x}\left(t\right)=x\left(t\right)*\left ( \frac{\mathrm{1}}{\mathit{\pi t}} \right )}}$$希尔伯特变换的性质 希尔伯特变换性质的陈述和证明如下：性质 1 希尔伯特变换不改变信号的定义域。证明 令 a ... 阅读更多

卷积 卷积是一种将两个信号组合以产生第三个信号的数学工具。换句话说，卷积可以定义为用于表达 LTI 系统输入和输出之间关系的数学运算。考虑两个信号 $\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$ 和 $\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$. 那么，这两个信号的卷积定义为$$\mathrm{ \mathit{\mathit{y\left(t\right)=x_{\mathrm{1}}\left({t}\right)*x_{\mathrm{2}}\left({t}\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left(\tau\right)x_{\mathrm{2}}\left(t-\tau\right)\:d\tau=\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(\tau \right)x_{\mathrm{1}}\left(t-\tau\right)\:d\tau }}}$$卷积的性质 连续时间卷积具有基本且重要的性质，如下所示：卷积的交换律 - 卷积的交换律指出，我们对两个信号进行卷积的顺序并不重要… 阅读更多

失真定义为信号在通过系统时形状的变化。因此，当系统的输出是输入信号的精确副本时，信号通过系统的传输被称为无失真传输。这个副本，即系统的输出，可能具有不同的幅度，也可能具有不同的时间延迟。输出信号幅度的恒定变化和恒定时间延迟不被认为是失真。只有信号形状的变化才被认为是失真。数学上，... 阅读更多

对于连续时间函数𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡)的傅里叶变换可以定义为， $$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$用傅里叶变换进行系统分析 考虑一个由微分方程描述的LTI（线性时不变）系统， $$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}}$$对上述方程两边进行傅里叶变换，得到， $$\mathrm{F\left [ \sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]=F\left [ \sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]}$$利用线性性质$\mathrm{\left [ i.e., \: ax_{1}\left ( t \right )+bx_{2}\left ... 阅读更多

对于连续时间函数𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡)的傅里叶变换可以定义为$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的时域尺度变换性质 陈述 - 傅里叶变换的时域尺度变换性质指出，如果一个信号在时间上扩展了(a)量，那么它的傅里叶变换在频率上就会被压缩相同的量。因此，如果$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X\left ( \omega \right )}$$那么，根据傅里叶变换的时域尺度变换性质$$\mathrm{x\left ( at \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left | a \right |} X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$当𝑎 > 1时，𝑥(𝑎𝑡)是… 阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡)的傅里叶变换可以定义为， $$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$逆傅里叶变换定义为， $$\mathrm{x\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega}$$复函数的傅里叶变换 考虑一个表示为的复函数𝑥(𝑡)：$$\mathrm{x\left ( t \right )=x_{r}\left ( t \right )+jx_{i}\left ( t \right )}$$其中，𝑥𝑟 (𝑡)和𝑥𝑖 (𝑡)分别是该函数的实部和虚部。现在，函数𝑥(𝑡)的傅里叶变换由下式给出， $$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ... 阅读更多

卷积 两个信号𝑥(𝑡)和ℎ(𝑡)的卷积定义为， $$\mathrm{y\left ( t \right )=x\left( t \right )\ast h\left ( t \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( \tau \right )h\left ( t-\tau \right )d\tau}$$该积分也称为卷积积分。时间卷积定理 陈述 - 时间卷积定理指出，时域中的卷积等效于频域中其频谱的乘积。因此，如果两个时间信号的傅里叶变换为， $$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1} \left ( \omega \right )}$$和$$\mathrm{x_{2}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2} \left ( \omega \right )}$$那么，根据时间… 阅读更多

线性系统 - 满足叠加原理和齐次原理的系统称为线性系统。线性系统的滤波特性 对于给定的线性系统，输入信号𝑥(𝑡)产生响应信号𝑦(𝑡)。因此，系统根据系统的特性处理输入信号𝑥(𝑡)。输入信号𝑥(𝑡)的谱密度函数在s域中由𝑋(𝑠)给出，在频域中由𝑋(𝜔)给出。同样，响应信号𝑦(𝑡)的谱密度函数在s域中由𝑌(𝑠)给出，在频域中由𝑌(𝜔)给出。因此， $$\mathrm{Y\left ( s \right ... 阅读更多

能量谱密度 信号在频域中的能量分布称为能量谱密度 (ESD) 或能量密度 (ED) 或能量密度谱。它用$\psi (\omega )$表示，由下式给出， $$\mathrm{\psi (\omega )=\left | X(\omega ) \right |^{2}}$$自相关 自相关函数给出信号与其时间延迟版本之间相似性的度量。能量信号 x(t) 的自相关函数由下式给出， $$\mathrm{R(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)\:x^{*}(t-\tau )\:dt}$$其中，参数$\tau$称为延迟参数。ESD 和自相关函数之间的关系 自相关函数$R(\tau$)和能量谱密度 (ESD) 函数… 阅读更多

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